Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề Bất đẳng thức Toán 9

Chuyên đề

BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyển vế thì đổi dấu.

Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số dương được BĐT cùng chiều.

Nhân ( hoặc chia) hai vế cho cùng số âm được BĐT ngược chiều.

Nghịch đảo hai vế  của một bất đẳng thức mà hai vế cùng dấu được BĐT ngược chiều.

Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều.  (Chú ý không có phép biến đổi trừ từng vế)

Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm

Từ BĐT đề yêu cầu chứng minh, ta biến đổi đến bất đẳng thức đúng, như vậy BĐT đã được chứng minh.

Bài 1: Chứng minh \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}}\text{    }\left( 1 \right)\) 

Giải

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)}  \ge {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2}\\
{\rm{        }} \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)}  \ge ac + bd{\rm{    }}(2)
\end{array}\) 

Vậy để chứng minh BĐT(1) ta phải chứng minh BĐT (2)

Nếu VP=  ac + bd < 0 thì (2) đúng

Nếu \(ac+bd\ge 0\) thì

\(\begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\\
{\rm{     }} \Leftrightarrow {a^2}{c^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2} + {b^2}{d^2} \ge {a^2}{c^2} - 2abcd + {b^2}{d^2} \Leftrightarrow {\left( {ad - bc} \right)^2} \ge 0
\end{array}\) 

BĐT cuối luôn đúng vậy ta có \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}}\text{    }\left( 1 \right)\) 

a) Sử dụng BĐT suy ra từ BĐT (a-b)² \(\ge \) 0

Đây là một trong các  PP thường ra thi tuyển 10

Ví dụ :

a) Từ \({{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{a}^{2}}-a+\frac{1}{4}\ge 0\Rightarrow {{a}^{2}}+\frac{1}{4}\ge a\,\,\,\,\,\,(1)).

b)  Với x > 1 ta có  \({\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x - 1 - 2\sqrt {x - 1}  + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x - 2\sqrt {x - 1}  \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\sqrt {x - 1}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {x - 1} }}{x} \le \frac{1}{2}\\
\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }} \ge 2
\end{array} \right.\) 

......(Người ra đề cứ lấy một BĐT bất kỳ , từ đó khai triển , kết hợp vài  BĐT như vậy sẻ có bài toán của đề thi. Vì vậy người học khó chờ cơ hội trúng đề  mà chỉ cần nắm chắc PP giải, biết lựa chọn BĐT xuất phát đúng ắt sẽ giải được bài). Ví dụ ta có các bài toán sau.

Bài 2: Cho 3 số a;b;c thỏa mãn a+b+c = \(\frac{3}{2}\). Chứng minh a² + b² +c² \(ge \) \(\frac{3}{4}\)

Giải:

\({{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{a}^{2}}-a+\frac{1}{4}\ge 0\Rightarrow {{a}^{2}}+\frac{1}{4}\ge a\,\,\,\,\,\,(1)\).

Tương tự ta có: \({{b}^{2}}+\frac{1}{4}\ge b\,\,\,\,\,\,(2);\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{c}^{2}}+\frac{1}{4}\ge c\,\,\,\,\,\,(3)\)

Lấy (1) +(2)+(3) được:

\(\left( {{a}^{2}}+\frac{1}{4} \right)+\left( {{b}^{2}}+\frac{1}{4} \right)+\left( {{c}^{2}}+\frac{1}{4} \right)\ge a+b+c\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{3}{4}\)

Dấu =  khi a=b=c=\(\frac{1}{2}\) 

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bẳng cách dự đoán dấu “=” xảy ra rất nhiều bài toán BĐT ta đổi qua biến mới dễ làm hơn. Chủ yếu dùng PP tương đương sau khi đổi biến.

Bài 9:  Cho \(a+b=3,\,\,a\le 1\). Chứng minh rằng:   C = \({{b}^{3}}-{{a}^{3}}-6{{b}^{2}}-{{a}^{2}}+9b\ge 0\).

 Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 2.

Do vậy ta đặt \(a=1-x\), với x \(\ge \)0. Từ giả thiết suy ra \(b=2+x\).

Ta có:    C = \({{b}^{3}}-{{a}^{3}}-6{{b}^{2}}-{{a}^{2}}+9b\) = \({{(2+x)}^{3}}-{{(1-x)}^{3}}-6{{(2+x)}^{2}}-{{(1-x)}^{2}}+9(2+x)\)

= \({{x}^{3}}-2{{\text{x}}^{2}}+x\) = \(x{{(x-1)}^{2}}\ge 0\) (vì x \( \ge \) 0).

Đẳng thức xảy ra  x = 0 hoặc x = 1 tức a = 1, b = 2 hoặc a = 0, b = 3. Vậy C \(\ge \) 0.

Bài 10: Cho \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:  A =  \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca\ge 6\).

Nhận xét: Dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Do vậy ta đặt:  \(a=1+x,\,\,b=1+y\), ( x, y \(\in \) R ).           

Từ giả thiết suy ra: (c=1-x-y).

Ta có:    A =  \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca\)

= \({{(1+x)}^{2}}+{{(1+y)}^{2}}+{{(1-x-y)}^{2}}+(1+x)(1+y)+(1+y)(1-x-y)+(1-x-y)(1+x)\)

= \({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}+6\) = \({{\left( x+\frac{1}{2}y \right)}^{2}}+\frac{3}{4}{{y}^{2}}+6\ge 6\)

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Bổ trợ:

a)Tổng hữu hạn.

Một tổng gồm các số hạng viết theo quy luật từ số hạng đầu tiên đến số hạng cuối cùng , gọi là tổng hữu hạn.

Ví dụ: A= \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{2018.2019}\) là một tổng hữu hạn.

Để tính tổng hữu hạn ta biến đổi mỗi số hạng thành hiệu của hai số hạng.

Ví dụ: Tính A= \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{2018.2019}\)

(Ta áp dụng công thức \(\frac{n}{a(a+n)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{a+n}\) với a và n là số tự nhiên)

Ta có:

A= \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{2018.2019}\)=\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...........+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}=1-\frac{1}{2019}=\frac{2018}{2019}\)

b)Tích hữu hạn.

Một tích gồm các thừa số viết theo quy luật từ thừa số  đầu tiên đến thừa số  cuối cùng ,gọi là tích hữu hạn.

VD:  B= \(\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{8} \right)\left( 1+\frac{1}{15} \right)....\left( 1+\frac{1}{{{n}^{2}}+2n} \right)\) là tích hữu hạn.

Để tính tích  hữu hạn ta biến đổi mỗi thừa  số  thành tich của hai thừa số.Từ vài thừa số đầu tiên ta tìm ra quy luật rút gọn.

VD:  Rút gọn \(B=\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{8} \right)\left( 1+\frac{1}{15} \right)....\left( 1+\frac{1}{{{n}^{2}}+2n} \right)\)

Giải: Ta có

\(\begin{array}{l}
B = \left( {1 + \frac{1}{3}} \right)\left( {1 + \frac{1}{8}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{15}}} \right)....\left( {1 + \frac{1}{{{n^2} + 2n}}} \right)\\
B = \frac{{{2^2}}}{3}.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{{3^2}}}{8}.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{{4^2}}}{{15}}.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ..........\frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{n^2} + 2n}} = \left( {\frac{{2.2}}{{1.3}}} \right).\left( {\frac{{3.3}}{{2.4}}} \right).\left( {\frac{{4.4}}{{3.5}}} \right)........\left[ {\frac{{(n + 1)(n + 1)}}{{n(n + 2)}}} \right]
\end{array}\) 

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề Bất đẳng thức Toán 9​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.