Chuyên đề Tìm giá trị của x nguyên để A nhận giá trị nguyên Toán 9

Chuyên đề

TÌM GIÁ TRỊ CỦA \(x\) NGUYÊN ĐỂ A NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN

+ Thông thường biểu thức A sẽ có dạng \(A=\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\) trong đó f(x) và g(x) là các đa thức và \(g\left( x \right)\ne 0\)

+ Cách làm:

- Bước 1: Tách về dạng \(A=m\left( x \right)+\frac{k}{g\left( x \right)}\) trong đó m(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên

- Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên thì \(\frac{k}{g\left( x \right)}\) nguyên hay \(k\vdots g\left( x \right)\) nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k

- Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hơp, sau đó kết luận

+ Đây là một dạng nâng cao hơn bài tập tìm gá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên bởi ta chưa xác định giá trị của biến x có nguyên hay không để biến đổi biểu thức A về dạng \(A=m\left( x \right)+\frac{k}{g\left( x \right)}\). Bởi vậy, để làm được dạng bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh m < A < M trong đó m, M là các số nguyên

- Bước 2: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên

- Bước 3: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên

a, \(\frac{2}{x-1}\)                             

b, \(\frac{x-2}{x-1}\)                          

c, \(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) 

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 1: tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, \(\frac{2}{x-1}\) có điều kiện \(x\ne 1\)

Để \(\frac{2}{x-1}\) nhận giá trị nguyên thì \(2\vdots \left( x-1 \right)\Leftrightarrow x-1\in U\left( 2 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}\) 

Ta có bảng:

x - 1	-2	-1	1	2
x	-1 (thỏa mãn)	0 (thỏa mãn)	2 (thỏa mãn)	3 (thỏa mãn)

Vậy với \(x\in \left\{ -1;0;2;3 \right\}\) thì biểu thức \(\frac{2}{x-1}\) nhận giá trị nguyên

b, \(\frac{x-2}{x-1}\) có điều kiện \(x\ne 1\)

\(\frac{x-2}{x-1}=\frac{x-1-1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}-\frac{1}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}\)

Để \(\frac{x-2}{x-1}\) nhận giá trị nguyên thì \(1\vdots \left( x-1 \right)\Leftrightarrow x-1\in U\left( 1 \right)=\left\{ \pm 1 \right\}\) 

Ta có bảng:

x - 1	-1	1
x	0 (thỏa mãn)	2

Vậy với \(x\in \left\{ 0;2 \right\}\) thì biểu thức \(\frac{x-2}{x-1}\) nhận giá trị nguyên

c, \(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) có điều kiện là \(x\ge 0\)

\(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)-3}{\sqrt{x}+1}=\frac{3\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}+1}-\frac{3}{\sqrt{x}+1}=3-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\) 

Để \(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) nhận giá trị nguyên thì \(3\vdots \left( \sqrt{x}+1 \right)\Leftrightarrow \sqrt{x}+1\in U\left( 3 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3 \right\}\)

Ta có bảng:

\(\sqrt{x}+1\)	-3	-1	1	3
\(\sqrt{x}\)	-4 (loại)	-2 (loại)	0	2
x			0 (thỏa mãn)	4 (thỏa mãn)

Vậy với \(x\in \left\{ 0;4 \right\}\) thì biểu thức \(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) nhận giá trị nguyên

Bài 2: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, \(\frac{2\sqrt{x}}{x+3}\)                          

b, \(\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)                                   

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 2: tìm các giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, \(\frac{2\sqrt{x}}{x+3}\) có điều kiện là \(x\ge 0\)

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt x  \ge 0\\
x + 3 \ge 3 > 0
\end{array} \right.\). Suy ra ta có \(\frac{2\sqrt{x}}{x+3}\ge 0\forall x\ge 0\)(1)

Lại có \(\frac{2\sqrt{x}}{x+3}=\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(x\ge 0\) có \(\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge 2.\sqrt{\sqrt{x}.\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}}\le \frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(0\le \frac{2\sqrt{x}}{x+3}\le \frac{\sqrt{3}}{3}\) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên \(\frac{2\sqrt{x}}{x+3}=0\)

Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, \(\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\) có điều kiện là \(x\ge 0\)

Có \(x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt x  \ge 0\\
x + \sqrt x  + 1 \ge 0
\end{array} \right.\forall x \ge 0\) (1)

Lại có \(\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{2}{\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\) 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(x\ge 0\) có

 \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 2\Rightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1\ge 3\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\le \frac{2}{3}\) (2)

Từ (1) va (2) ta có \(0\le \frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\le \frac{2}{3}\) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên \(\frac{2\sqrt{x}}{x+3}=0\). Giải phương trình được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, \(\frac{2}{x-1}\)                                        

b, \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\)                                    

c, \(\frac{x+5}{x}\)   

d, \(\frac{{{x}^{2}}-3}{x-2}\)                                             

e, \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)                                     

f, \(\frac{7}{\sqrt{x}+3}\)

Bài 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, \(\frac{7\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+2}\)                                   

b, \(\frac{15\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)                                 

c, \(\frac{3\sqrt{x}}{x+5\sqrt{x}+9}\)

Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề Tìm giá trị của x nguyên để A nhận giá trị nguyên Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.