Chuyên đề Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện điều kiện Toán 9

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện điều kiện

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là \(a\ne 0\) và \(\Delta \ge 0\))

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho

+ Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

Bài 1: Cho phương trình bậc hai \({{x}^{2}}-2mx+4m-4=0\) (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m khác 2

b, Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn hệ thức: \(3\left( {{x}_{\grave{\ }}}+{{x}_{2}} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}\)

Lời giải:

a, Ta có: \(\Delta '=b{{'}^{2}}-ac\) 

\(={{m}^{2}}-\left( 4m-4 \right)={{m}^{2}}-4m+4={{\left( m-2 \right)}^{2}}>0\forall m\ne 2\) 

Vậy với mọi m khác 2 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m khác 2 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 4m - 4
\end{array} \right.\) 

Ta có \(3\left( {{x}_{\grave{\ }}}+{{x}_{2}} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}\Leftrightarrow 3.2m=4m-4\Leftrightarrow 2m=-4\Leftrightarrow m=-2\left( tm \right)\)

Vậy với m = -2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(3\left( {{x}_{\grave{\ }}}+{{x}_{2}} \right)={{x}_{1}}{{x}_{2}}\) 

Bài 2: Cho phương trình \({{x}^{2}}-2mx-1=0\) (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) của phương trình thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2\) 

Lời giải:

a, Ta có \(\Delta '=b{{'}^{2}}-ac\) 

\(={{m}^{2}}+1\ge 1>0\forall m\) 

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2m\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} =  - 1
\end{array} \right.\)  

Ta có \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 4{m^2} - 2.\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 2\\
 \Leftrightarrow 4{m^2} + 2 = 1 + 2\\
 \Leftrightarrow 4{m^2} = 1\\
 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m =  \pm \frac{1}{2}
\end{array}\) 

Vậy với \(m=\pm \frac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2\) 

Bài 3: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x-2=0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=4\) 

Lời giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0\)

Ta có \(\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( -2 \right)={{\left( m+1 \right)}^{2}}+8>0\forall m\) 

Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - 2\left( {m + 1} \right) \Rightarrow {x_1} =  - 2\left( {m + 1} \right) - {x_2}\\
{x_2}{x_2} = \frac{c}{a} =  - 2
\end{array} \right.\) 

Ta có \(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow 3\left[ -2\left( m+1 \right)-{{x}_{2}} \right]+2{{x}_{2}}=4\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow  - 6\left( {m + 1} \right) - 3{x_2} + 2{x_2} = 4\\
 \Leftrightarrow {x_2} =  - 6\left( {m + 1} \right) - 4 =  - 10 - 6m\\
 \Rightarrow {x_1} =  - 2\left( {m + 1} \right) + 6\left( {m + 1} \right) + 4 = 4m + 8
\end{array}\)  

Có \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2\Leftrightarrow -\left( 6m+10 \right)\left( 4m+8 \right)=-2\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {6m + 10} \right)\left( {4m + 8} \right) = 2\\
 \Leftrightarrow 24{m^2} + 48m + 40m + 80 = 2\\
 \Leftrightarrow 24{m^2} + 88m + 78 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{ - 3}}{2}\\
m = \frac{{ - 13}}{6}
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Vậy với \(m=-\frac{3}{2}\) hoặc \(m=\frac{-13}{6}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=4\) 

Bài 4: Cho phương trình \({{x}^{2}}-5x+m=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=3\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0\)

Ta có \(\Leftrightarrow 25-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{25}{4}\)

Vậy với \(m<\frac{25}{4}\) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 5\\
{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = m
\end{array} \right.\) 

Có \(A=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=3\Rightarrow {{A}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=9\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9\\
 \Leftrightarrow 25 - 4m = 9 \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4
\end{array}\)  

Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=3\)  

Bài 1: Cho phương trình \({{x}^{2}}+mx+2m-4=0\) (m tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4\) 

Bài 2: Cho phương trình \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2\) (x là ẩn số, m là tham số)

a, Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b, Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm m thỏa mãn điều kiện \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+2\)

Bài 3: Cho phương trình \({{x}^{2}}-2x+m-1=0\)

a, Giải phương trình khi m = - 2

b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}=2{{x}_{2}}\) 

Bài 4: Tìm m để phương trình \(2{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+m-1=0\) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn \(3{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=11\) 

Bài 5: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\) 

Bài 6: Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-4=0\) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=3\) 

Bài 7: Tìm m để phương trình \(\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2x+1=0\) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn 2x¹ + 3x² = -1

Trên đây là nội dung tài liệu Chuyên đề Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện điều kiện Toán 9​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.