Cách giải phương trình trùng phương Toán 9

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

+ Phương trình trùng phương theo định nghĩa là phương trình bậc 4 có dạng: \(a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+x=0\) với \(a\ne 0\) 

+ Ta đặt \(t={{x}^{2}}\) với điều kiện \(t\ge 0\) do \({{x}^{2}}\ge 0\) 

+ Khi đó phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn t: \(a{{t}^{2}}+bt+c=0\)

+ Giải phương trình bậc hai ẩn t, kết hợp với điều kiện \(t\ge 0\) 

+ Với mỗi giá trị t tìm được, ta sẽ tìm được các nghiệm x tương ứng của phương trình

Cho phương trình trùng phương \(a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+x=0\) (1) với \(a\ne 0\)

Ta đặt \(t={{x}^{2}}\) với điều kiện \(t\ge 0\), phương trình trở thành phương trình bậc hai ẩn t: \(a{{t}^{2}}+bt+c=0\) (2)

+ Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
P > 0\\
S > 0
\end{array} \right.\)

+ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
P = 0\\
S > 0
\end{array} \right.\) 

+ Phương trình (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = 0\\
S = 0
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
P = 0\\
S < 0
\end{array} \right.\) 

+ Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình hai vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

Bài 1: Giải phương trình trùng phương: \({{x}^{4}}+7{{x}^{2}}+10=0\) 

Lời giải:

Đặt \(t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)\) 

Phương trình trở thành \({{t}^{2}}+7t+10=0\) (1)

Có \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{7}^{2}}-4.1.10=49-40=9>0\) 

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

\({{t}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-7+9}{2}=1\) (tm) và \({{t}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-7-9}{2}=-8\) (loại)

Với \(t=1\Rightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1\) 

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 hoặc x = -1

Bài 2: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: \(\left( m+2 \right){{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-1=0\) 

Lời giải:

Với \(m+2=0\Leftrightarrow m=-2\), phương trình đã cho trở thành:

\(3{{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\) (loại)

Với \(m+2\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2\), phương trình đã cho là phương trình trùng phương:

\(\left( m+2 \right){{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-1=0\) (1)

Đặt \(t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)\) 

Phương trình trở thành \(\left( m+2 \right){{t}^{2}}+3t-1=0\) (2)

Có \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac=9-4.\left( m+2 \right).\left( -1 \right)=9+4m+8=17+4m\), \(P=\frac{-b}{a}=\frac{-3}{m+2}\ne 0\) và \(S=\frac{c}{a}=\frac{-1}{m+2}\ne 0\) 

Có P khác 0 nên phương trình không có nghiệm bằng 0 nên phương trình (1) không có 3 nghiệm phân biệt hoặc 1 nghiệm

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta  > 0}\\
{P > 0}\\
{S > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{17 + 4m > 0}\\
{\frac{{ - 3}}{{m + 2}} > 0}\\
{\frac{{ - 1}}{{m + 2}} > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow  \ge \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > \frac{{ - 17}}{4}}\\
{m <  - 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 17}}{4} < m <  - 2\) 

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt âm

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\Delta  < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
P < 0\\
S > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
17 + 4m < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
17 + 4m > 0\\
m + 2 < 0\\
m + 2 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow 17 + 4m < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 17}}{4}\) 

Vậy với m=-2 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

\(\frac{-17}{4}\)

\(m<\frac{-17}{4}\), phương trình (1) vô nghiệm

Bài 1: Giải các phương trình trùng phương dưới đây:

a, \(3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-5=0\) 

b, \({{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-6=0\) 

c, \(4{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-5=0\) 

d, \(3{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1=0\) 

e, \(2{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2=0\) 

f, \(3{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+3=0\) 

Bài 2: Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau đây có bao nhiêu nghiệm?

a, \({{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+12=0\)

b, \(-1,5{{x}^{4}}-2,6{{x}^{2}}+1=0\)

c, \(\left( 1-\sqrt{2} \right){{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1-\sqrt{2}=0\)

d, \(-{{x}^{4}}+\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right){{x}^{2}}=0\)

Bài 3: Tìm m để phương trình \({{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m-1=0\) có 4 nghiệm phân biệt

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Cách giải phương trình trùng phương Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.