Chuyên đề Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9

Chuyên đề

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương pháp giải:

Cách 1: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x 

Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b

- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

- Nếu b \(\ne \)0 thì hệ vô nghiệm

ii) Nếu a \(\ne \)0 thì (1) \(\Rightarrow \) x = \(\frac{b}{a}\), Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Cách 2: Dùng định thức để giải và biện luận hpt

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
mx - y = 2m(1)\\
4x - my = m + 6(2)
\end{array} \right.\) 

Từ (1) \(\Rightarrow \) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 \(\Leftrightarrow \)(m² – 4)x = (2m + 3)(m – 2)   (3)

Nếu m² – 4 \(\ne \) 0 hay m\(\ne \) \(\pm \)2 thì x = \(\frac{(2m+3)(m-2)}{{{m}^{2}}-4}=\frac{2m+3}{m+2}\)

Khi đó y = - \(\frac{m}{m+2}\). Hệ có nghiệm duy nhất: (\(\frac{2m+3}{m+2}\);-\(\frac{m}{m+2}\))

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x \(\in \) R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm

Vậy:  - Nếu m\(\ne \)\(\pm \)2 thì  hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (\(\frac{2m+3}{m+2}\);-\(\frac{m}{m+2}\))

- Nếu m = 2 thì  hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x \(\in \) R

- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

1) \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 3m - 1\\
x + my = m + 1
\end{array} \right.\)     

2) \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 4y = 10 - m\\
x + my = 4
\end{array} \right.\)            

3) \(\left\{ \begin{array}{l}
(m - 1)x - my = 3m - 1\\
2x - y = m + 5
\end{array} \right.\) 

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình theo tham số

Viết x, y của hệ về dạng: n + \(\frac{k}{f(m)}\) với n, k nguyên

Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

Ví dụ 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

\(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right.\)

HD Giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = m + 1\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2mx + 4y = 2m + 2\\
2mx + {m^2}y = 2{m^2} - m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
({m^2} - 4)y = 2{m^2} - 3m - 2 = (m - 2)(2m + 1)\\
2x + my = 2m - 1
\end{array} \right.\) 

để hệ có nghiệm duy nhất thì  m² – 4 \(\ne $\) hay m \(\ne \)\(\pm 2\)

Vậy với m \(\ne \)\(\pm 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\(\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{(m - 2)(2m + 1)}}{{{m^2} - 4}} = \frac{{2m + 1}}{{m + 2}} = 2 - \frac{3}{{m + 2}}\\
x = \frac{{m - 1}}{{m + 2}} = 1 - \frac{3}{{m + 2}}
\end{array} \right.\) 

Để x, y là những số nguyên thì m + 2 \(\in \) Ư(3) = \(\left\{ 1;-1;3;-3 \right\}\) 

Vậy: m + 2 = \(\pm \)1, \(\pm \)3 => m = -1; -3; 1; -5

VD 2: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 4y = 9\\
x + my = 8
\end{array} \right.\) 

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

2x + y + \(\frac{38}{{{m}^{2}}-4}\) = 3

HD Giải:

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m \(\ne \pm \)2

- Giải hệ phương trình theo m

\(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 4y = 9\\
x + my = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
mx + 4y = 9\\
mx + {m^2}y = 8m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
({m^2} - 4)y = 8m - 9\\
x + my = 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{8m - 9}}{{{m^2} - 4}}\\
x = \frac{{9m - 32}}{{{m^2} - 4}}
\end{array} \right.\) 

- Thay x = \(\frac{9m-32}{{{m}^{2}}-4}\) ; y = \(\frac{8m-9}{{{m}^{2}}-4}\) vào hệ thức đã cho ta được:

\(\frac{9m-32}{{{m}^{2}}-4}\) + \(\frac{8m-9}{{{m}^{2}}-4}\) + \(\frac{38}{{{m}^{2}}-4}\)= 3

=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m² – 12

\(\Leftrightarrow \) 3m² – 26m + 23 = 0

\(\Leftrightarrow \)m₁ = 1 ; m₂ =\(\frac{23}{3}\) (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)

Vậy m = 1 ; m = \(\frac{23}{3}\)

Bài 1:

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 4y = 10 - m\\
x + my = 4
\end{array} \right.\) (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m = \(\sqrt{2}\)

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0

d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

Bài 2:

Cho hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}
(m - 1)x - my = 3m - 1\\
2x - y = m + 5
\end{array} \right.\) 

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3:

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y = 4\\
2x - y = m
\end{array} \right.\) 

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng

3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy

Bài 4:

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
mx + 4y = 9\\
x + my = 8
\end{array} \right.\) 

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

Bài 5:

 Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + my = 9\\
mx - 3y = 4
\end{array} \right.\) 

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

x - 3y = \(\frac{28}{{{m}^{2}}+3}\) - 3

Bài 6:

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
mx - y = 2\\
3x + my = 5
\end{array} \right.\) 

a) Giải hệ phương trình khi \(m=\sqrt{2}\).

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức \(x+y=1-\frac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+3}\).

Bài 7:

Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x - my =  - 9}\\
{mx + 2y = 16}
\end{array}{\rm{ }}} \right.\)

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)

d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.