3 BÀI TOÁN HÓC BÚA VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
Trong toán học sơ cấp, phần số học các số nguyên tố luôn gặp các bài toán khó, đặc biệt có nhưng bài toán hàng trăm năm nay vẫn làm đau đầu các nhà toán học. Tuy thế có những bài toán “hóc” lại giải được do những HS tuổi 16 -19.
Xin giới thiệu vài bài toán như thế để các bạn tham khảo.
1/ Bài toán treo giải hàng triệu USD chưa có lời giải.
Đây là Giả thuyêt của Nhà toán học Goldbach. Ông dự đoán rằng:
Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều có thể viết được thành tổng của hai số nguyên tố. Có đúng hay không cho mọi trường hơp ?
Goldbach đã nêu lên giả thuyết này trong một lá thư gởi cho Euler vào năm 1742.
Với các số tương đối nhỏ là hiển nhiên; ví dụ như
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5
12=5+7
14=3+11=7+7
...
Hiện nay với công cụ máy vi tính hiện đại, các nhà toán học đã kiểm tra thấy giả thuyết Goldbach đúng đến số hàng tỉ tỉ, tuy nhiên lời giải tổng quát cho mọi số chẵn thì đến nay vẫn chưa ai chứng minh được.
Có một số tổ chức đã đưa ra giải thưởng lên đến cả triệu đô la cho người nào giải được bài toán này, nhưng chưa có ai là người may mắn giành giải thưởng này.
Đây có lẽ là bài toán nổi tiếng nhất về số nguyên tố.
2/ Bài toán của Bertrand - Định lý & Hệ quả
CMR: Với mọi số tự nhiên n >1, luôn tồn tại một số nguyên tố thỏa mãn n
Bertrand phát biểu định lý này vào năm 1845 nhưng ông không chứng minh được, sau đó Bài toán này được Chebyshev chứng minh vào năm 1850, vì thế định lý này còn được gọi là “Định đề Bertrand” hay “Định lý Chebyshev”.
Nhà toán học Erdos, vào năm ông 19 tuổi, đã chứng minh được Bài toán này bằng một phương pháp sơ cấp. Chúng ta sẽ TK cách chứng minh sơ cấp của Erdos vào một bài sau.
Bài toán của Bertrand hay Định lý Chebyshev có một kết quả rất đẹp. h ơn thế, nó còn cho các nhà toán học mở rộng các hệ quả
Theo định lý Chebyshev thì sẽ tồn tại số nguyên tố p thoã mãn pi
Hệ quả: Nếu pi và pi+1 là hai số nguyên tố liên tiếp nhau thì (pi+1)/pi < 2.
Nghĩa là: với mọi cặp số nguyên tố đứng cạnh nhau (pi,pi+1) thì tỉ lệ pi+1pi bị chặn trên bởi 2.
Câu hỏi tương tự được đặt ra là liệu (pi+1−pi) có bị chặn trên hay không. Hay nói cách khác, có tồn tại hay không một hằng số c để cho mọi cặp số nguyên tố đứng cạnh nhau (pi,pi+1) thì chúng ta có pi+1−pi
Câu trả lời là không tồn tại.
Người ta chứng minh rằng pi+1−pi có thể lớn đến vô cùng
Rõ ràng rằng số 100!+2 chia hết cho 2, số 100!+3 chia hết cho 3, số 100!+4 chia hết cho 4, v.v... Tóm lại, tất cả các số từ 100!+2 cho đến 100!+100 đều là hợp số. Vậy nếu pi là số nguyên tố đứng ngay đàng trước số 100!+2, thì số nguyên tố tiếp theo pi+1 phải ở đàng sau số 100!+100.
Tức là chúng ta có : pi<100!+2<⋯<100!+100
Do đó chúng ta đã tìm ra hai số nguyên tố đứng cạnh nhau mà pi+1−pi≥100. Rõ ràng chúng ta có thể thay con số 100 bằng con số 1 tỉ, hay bất kỳ một con số nào khác, thì chúng ta cũng chứng minh được điều tương tự. Có nghĩa là pi+1−pi có thể lớn đến vô cùng.
3/ Bài toán chưa có lời giải về các cặp số nguyên tố sinh đôi.
Câu hỏi của bài toán:
Tồn tại vô hạn hay không các cặp số nguyên tố (pi,pi+1) sao cho pi+1−pi=2.
Nếu viết các số nguyên tố ra thành một dãy số
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…
chúng ta sẽ thấy có khá nhiều các cặp số nguyên tố đứng cạnh nhau là hai số lẻ liên tiếp, ví dụ như 3 và 5, 5 và 7, 11 và 13, 17 và 19. Các cặp số này gọi là các cặp số nguyên tố sinh đôi.
Đến nay các nhà toán học vẫn không biết có vô hạn hay hữu hạn các cặp số nguyên tố sinh đôi.
