PHÒNG GIÁ DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9
HÀ TRUNG NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn thi: Toán
Thời gain làm bài: 150 phút
Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt {x - 1} }}{{3 + \sqrt {x - 1} }} + \frac{{x + 8}}{{10 - x}}} \right):\left( {\frac{{3\sqrt {x - 1} + 1}}{{x - 3\sqrt {x - 1} - 1}} - \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }}} \right)\)
- Rút gọn biểu thức P
- Tính giá trị của biểu thức P khi \(x = \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{3 - 2\sqrt 2 }}}} - \sqrt[4]{{\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{3 + 2\sqrt 2 }}}}\)
Câu 2: (4.0 điểm)
a. Giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} - 3\sqrt {y - 1} = - 1\\
2\sqrt {x + 1} + 5\sqrt {y - 1} = 9
\end{array} \right.\)
b. Giải phương trình \(\sqrt {x + 1} - \sqrt {4 - x} + \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = 5\)
c. Cho một số tự nhiên có 4 chữ số; Nếu xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 5445 đơn vị. Tìm số đã cho.
Câu 3: (4.0 điểm)
- Chứng minh A= (2n - 1) ( 2n + 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n .
- Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: x+y+z>11 và 8x+9y+10z=100.
- Chứng minh rằng nếu \(xy + \sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} = 1\) thì \(\sqrt {1 + {y^2}} + y\sqrt {1 + {x^2}} = 0\)
Câu 4: (3.0 điểm)
a. Cho x, y>0 thoả mãn \(\frac{x}{{1 + x}} + \frac{{2y}}{{1 + y}} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của P=xy2
b. Tìm các số tự nhiên n sao cho B=n2-n+13 là số chính phương.
Câu 5: (5.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD.
a. Tính số đo góc COD
b. Chứng minh OI=\(\frac{1}{2}\)CD và OI vuông góc với AB.
c. Chứng minh: AC.BD = R2
d. Tìm vị trí của điểm M để tứ giác ABCD có chu vi nhỏ nhất
{-- xem đầy đủ nội dung ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là trích một phần nội dung Đề thi HSG môn Toán lớp 9 năm 2018 phòng GD&ĐT Hà Trung có đáp án. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng đề thi này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới.
