Một số dạng toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {\left( {uv} \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \)

Ví dụ: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\ln tdt} .$

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dt}}{t}\\v = t\end{array} \right.$.

Khi đó \(I = t\ln t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - \int\limits_1^2 {dt}  = t\ln t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 2\ln 2 - 1.$

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính tích phân \(I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x.} \)

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \dfrac{{{x^2}\ln x}}{2}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e x  = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}^e\\_1\end{array} \right. = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\)

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}{\rm{d}}x} \)

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2{e^x}dx}  = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1 = 3e - 1.\)

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \). (trong đó \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v =  - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\sin 2x{\rm{d}}x} \)

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{{\cos 2x}}{2}\end{array} \right..\)

Khi đó \(I =  - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\cos 2xdx}  =  - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. + \dfrac{{\sin 2x}}{4}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\dfrac{\pi }{4}}} \right. = \dfrac{1}{4}.\)

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Phương pháp:

Tính tích phân \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {udv}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Ví dụ: Tính \(K = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x} \)

Giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - 2\sin 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Suy ra \(K = \left( {{e^x}\cos 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. + 2\int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin 2xdx}  = {e^\pi } - 1 + 2M\)

Tính \(M = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin 2xdx} \)

Ta đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.\)

Suy ra \(M = \left( {{e^x}\sin 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^\pi }\\{_0}\end{array}} \right. - 2\int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x}  =  - 2K\)

Khi đó \(K = {e^\pi } - 1 + 2\left( { - 2K} \right) \Leftrightarrow 5K = {e^\pi } - 1 \Leftrightarrow K = \dfrac{{{e^\pi } - 1}}{5}\)

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.

- Ở bước 1, ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)

Câu 1: Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\ln \left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-x \right)dx}\) có giá trị là:

A. \(I=\sqrt{2}-1+\ln \left( \sqrt{2}-1 \right)\)

B. \(I=\sqrt{2}-1-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right)\)

C. \(I=-\sqrt{2}+1+\ln \left( \sqrt{2}-1 \right)\)

D. \(I=-\sqrt{2}+1-\ln \left( \sqrt{2}-1 \right)\)

Câu 2: Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{x}{1+\cos x}dx}\) có giá trị là:

A. \(I=\frac{\pi }{4}\tan \frac{\pi }{8}-2\ln \left( \cos \frac{\pi }{8} \right)\)

B. \(I=\frac{\pi }{4}\tan \frac{\pi }{8}+2\ln \left( \cos \frac{\pi }{8} \right)\)

C. \(I=\frac{\pi }{4}\tan \frac{\pi }{4}-2\ln \left( \cos \frac{\pi }{8} \right)\)

D. \(I=\frac{\pi }{4}\tan \frac{\pi }{4}+2\ln \left( \cos \frac{\pi }{8} \right)\)

Câu 3: Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{2x-\sin x}{2-2\cos x}dx}\) có giá trị là:

A. \(I=\frac{1}{2}\left( -\pi +\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}+4\ln \sqrt{2}+\ln 2 \right)\)

B. \(I=\frac{1}{2}\left( -\pi +\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}+2\ln \sqrt{2}-\ln 2 \right)\)

C. \(I=\frac{1}{2}\left( -\pi +\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}+4\ln \sqrt{2}-\ln 2 \right)\)

D. \(I=\frac{1}{2}\left( -\pi +\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}+2\ln \sqrt{2}+\ln 2 \right)\)

Câu 4: Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \cos x-1 \right){{\cos }^{2}}x}dx\) có giá trị là:

A. \(I=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{3}\)

B. \(I=-\frac{\pi }{4}-\frac{2}{3}\)

C. \(I=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}\)

D. \(I=-\frac{\pi }{4}+\frac{2}{3}\)

Câu 5: Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{\sin x+\cos x}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}dx}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\). Giá trị của alà:

A. \(a=-\frac{\pi }{2}\)

B. \(a=-\frac{\pi }{4}\)

C. \(a=\frac{\pi }{3}\)

D. \(a=\frac{\pi }{6}\)

Câu 6: Tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}\) có giá trị là:

A. \(I=\frac{\pi }{12}+\ln \left( \sqrt{3}+1 \right)\)

B. \(I=\frac{\pi }{12}+\ln \frac{\sqrt{3}+1}{4}\)

C. \(I=\frac{\pi }{12}-\frac{\ln \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)}{2}\)

D. \(I=\frac{\pi }{12}+\ln \frac{\sqrt{3}+1}{2}\)

Câu 7: Tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin 2x}}{{\cos x + \cos 3x}}dx} \) có giá trị là:

A. \(I=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2}+\ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \right)\)

B. \(I=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2}-\ln \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right)\)

C. \(I=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}+2}-\ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \right)\)

D. \(I=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}-2}-\ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \right)\)

Câu 8: Tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{2x+\cos x}{{{x}^{2}}+\sin x}dx}\) có giá trị là:

A. \(I=\ln \left( \frac{{{\pi }^{2}}}{4}-1 \right)-\ln \left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\)

B. \(I=\ln \left( \frac{{{\pi }^{2}}}{4}+1 \right)-\ln \left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\)

C. \(I=\ln \left( \frac{{{\pi }^{2}}}{4}-1 \right)+\ln \left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\)

D. \(I=\ln \left( \frac{{{\pi }^{2}}}{4}+1 \right)+\ln \left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\)

Câu 9: Tích phân \(I=\int\limits_{1}^{a}{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}+3x}}dx=\frac{1}{3}\ln \frac{7}{2}\). Giá trị của a là:

A. a=1

B. a=2

C. a=3

D. a=4

Câu 10: Biết tích phân \({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{2xdx}=a\). Giá trị của \({{I}_{2}}=\int\limits_{a}^{2}{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}dx\) là:

A. \({{I}_{2}}=\frac{17}{3}\)

B. \({{I}_{2}}=\frac{19}{3}\)

C. \({{I}_{2}}=\frac{16}{3}\)

D. \({{I}_{2}}=\frac{13}{3}\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số dạng toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!