Hướng dẫn cách giải và phương pháp đổi biến số để tính tích phân

1. Kiến thức cần nhớ

- Vi phân:

\(\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}\)

- Công thức đổi biến: \(\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx}  = \int\limits_{t\left( a \right)}^{t\left( b \right)} {f\left( t \right)dt} \)

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Ví dụ: Tính tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \).

Giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \sqrt 3  \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

Do đó: \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int\limits_1^2 {t.2tdt}  = \left. {\dfrac{2}{3}{t^3}} \right|_1^2 = \dfrac{2}{3}\left( {{2^3} - {1^3}} \right) = \dfrac{{14}}{3}\).

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).

- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a'\\x = b \Rightarrow t = b'\end{array} \right.\).

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \)

Ví dụ: Cho \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x} \), nếu đặt \(x = \sin t\) thì:

A. \(I = 2\int\limits_0^1 {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} \)

B. \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} \)

C. \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} \)

D. \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\cos 2t - 1}}{2}{\rm{d}}t} \)

Giải:

Đặt \(x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

Suy ra

\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t} \cos t{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^1 {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t} \)

Chọn C.

Chú ý:

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp trên là:

Câu 1: Tích phân \(I=\int\limits_{\frac{5}{2}}^{3}{\sqrt{\left( x-1 \right)\left( 3-x \right)}dx}\) có giá trị là:

A. \(I=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)

B. \(I=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{8}\)

C. \(I=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}\)

D. \(I=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{8}\)

Câu 2: Tích phân \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin x}{{{\left( \cos x+\sqrt{3}\sin x \right)}^{2}}}dx}\) có gái trị là:

A. \(I=\frac{\sqrt{3}}{16}\ln \left( \frac{\sqrt{3}+2}{-\sqrt{3}+2} \right)+\frac{3}{8}\)

B. \(I=\frac{\sqrt{3}}{8}\ln \left( \frac{\sqrt{3}+2}{-\sqrt{3}+2} \right)+\frac{3}{8}\)

C. \(I=-\frac{\sqrt{3}}{8}\ln \left( \frac{\sqrt{3}+2}{-\sqrt{3}+2} \right)+\frac{3}{8}\)

D. \(I=-\frac{\sqrt{3}}{16}\ln \left( \frac{\sqrt{3}+2}{-\sqrt{3}+2} \right)+\frac{3}{8}\)

Câu 3: Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{3+4x}{\sqrt{3+2x-{{x}^{2}}}}dx}\) có giá trị là:

A. \(I=\frac{7\pi }{6}-4\sqrt{3}+8\)

B. \(I=\frac{7\pi }{6}-4\sqrt{3}-8\)

C. \(I=\frac{7\pi }{6}+4\sqrt{3}-8\)

D. \(I=\frac{7\pi }{6}+4\sqrt{3}+8\)

Câu 4: Tích phân \(I=\int\limits_{-1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x-3}{\sqrt{5+4x-{{x}^{2}}}}dx}\) có giá trị là:

A. \(I=\frac{5\pi }{3}\)

B. \(I=\frac{5\pi }{6}\)

C. \(I=-\frac{5\pi }{3}\)

D. \(I=-\frac{5\pi }{6}\)

Câu 5: Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+9}}dx}\) có giá trị là:

A. \(I=-\ln \frac{3+2\sqrt{3}}{3}\)

B. \(I=-\ln \frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\)

C. \(I=\ln \frac{3+2\sqrt{3}}{3}\)

D. \(I=\ln \frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\)

Câu 6: Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2ax}{x+1}dx}=\ln 2\). Giá trị của a là:

A. \(a=\frac{\ln 2}{1-\ln 2}\)

B. \(a=\frac{\ln 2}{2-2\ln 2}\)

C. \(a=\frac{\ln 2}{1+\ln 2}\)

D. \(a=\frac{\ln 2}{2+2\ln 2}\)

Câu 7: Tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{ax+1}{{{x}^{2}}+3x+2}}dx=\frac{3}{5}\ln \frac{4}{3}+\frac{3}{5}\ln \frac{2}{3}\). Giá trị của a là:

A. \(a=\frac{1}{5}\)

B. \(a=\frac{2}{5}\)

C. \(a=\frac{3}{5}\)

D. \(a=\frac{4}{5}\)

Câu 8: Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{a}{\sqrt{3{{x}^{2}}+12}}}dx\) có giá trị là:

A. \(I=\frac{a}{\sqrt{3}}\ln \left| \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right|\)

B. \(I=-\frac{a}{\sqrt{3}}\ln \left| \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right|\)

C. \(I=-\frac{a}{\sqrt{3}}\ln \left| \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right|\)

D. \(I=\frac{a}{\sqrt{3}}\ln \left| \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right|\)

Câu 9: Tích phân \(I=\int\limits_{-2}^{-1}{\left( 2a{{x}^{3}}+\frac{1}{x} \right)}dx\) có giá trị là:

A. \(I=-\frac{15a}{16}+\ln 2\)

B. \(I=\frac{15a}{16}-\ln 2\)

C. \(I=\frac{15a}{16}+\ln 2\)

D. \(I=-\frac{15a}{16}-\ln 2\)

Câu 10: Tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{ax-2}{\sqrt{a{{x}^{2}}-4x}}}dx=2\sqrt{3}-1\). Giá trị nguyên của a là:

A. a=5

B. a=6

C. a=7

D. a=8

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Hướng dẫn cách giải và phương pháp đổi biến số để tính tích phân. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!