Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

- Công thức nguyên hàm từng phần: $\int udv=uv-\int vdu$

Tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)dx=\int g\left(x\right).h\left(x\right)dx$

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=g\left(x\right)\\ dv=h\left(x\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=g^{\prime }\left(x\right)dx\\ v=\int h\left(x\right)dx\end{array}$ ($v\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $h\left(x\right)$)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f\left(x\right)dx=uv-\int vdu$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\ln x$.

Giải:

Đặt $\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx\\ v=x\end{array}$

Do đó $\int \ln xdx=uv-\int vdu=x.\ln x-\int x.{\displaystyle \frac{1}{x}}dx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C$

Dạng 1: Hàm số logarit.

Tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)\ln \left(ax+b\right)dx$ với f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=\ln \left(ax+b\right)\\ dv=f\left(x\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du={\displaystyle \frac{a}{ax+b}}dx\\ v=\int f\left(x\right)dx\end{array}$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f\left(x\right)\ln \left(ax+b\right)dx=uv-\int vdu$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x\ln x$

Giải: Ta có $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int x\ln xdx$

Đặt $\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du={\displaystyle \frac{dx}{x}}\\ v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\end{array}$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\ln x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\ln x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+C$

Dạng 2: Hàm số mũ.

Tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)e^{ax+b}dx$ với f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=e^{ax+b}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=f^{\prime }\left(x\right)dx\\ v={\displaystyle \frac{1}{a}}{e}^{ax+b}\end{array}$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f\left(x\right)e^{ax+b}dx=uv-\int vdu$

Ví dụ: Tính $I=\int x{e}^x\mathrm{d}x$

Giải:

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$I=\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-\int d\left(e^x\right)=x{e}^x-e^x+C$

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính nguyên hàm $\int f\left(x\right)\sin \left(ax+b\right)dx$ hoặc $\int f\left(x\right)\cos \left(ax+b\right)dx$.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=\sin \left(ax+b\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=f^{\prime }\left(x\right)dx\\ v=-{\displaystyle \frac{1}{a}}\cos \left(ax+b\right)\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=\cos \left(ax+b\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=f^{\prime }\left(x\right)dx\\ v={\displaystyle \frac{1}{a}}\sin \left(ax+b\right)\end{array}$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $\int f\left(x\right)\sin \left(ax+b\right)dx=uv-\int vdu$ hoặc $\int f\left(x\right)\cos \left(ax+b\right)dx=uv-\int vdu$

Ví dụ: Tính $I=\int x\sin xdx$

Giải:

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\cos x\end{array}$

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$I=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C$

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính nguyên hàm $\int e^{ax+b}\sin \left(cx+d\right)dx$ hoặc $\int e^{ax+b}\cos \left(cx+d\right)dx$.

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt $\{\begin{array}{l}u=\sin \left(cx+d\right)\\ dv=e^{ax+b}dx\end{array}$  hoặc $\{\begin{array}{l}u=\cos \left(cx+d\right)\\ dv=e^{ax+b}dx\end{array}$

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức $uv-\int vdu$.

Lưu ý:

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.

- Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt $\{\begin{array}{l}u=e^{ax+b}\\ dv=\sin \left(cx+d\right)dx\end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{l}u=e^{ax+b}\\ dv=\cos \left(cx+d\right)dx\end{array}$

Ví dụ: Tính nguyên hàm $I=\int \sin x.e^x\mathrm{d}x$

Giải:

Đặt $\{\begin{array}{l}u=\sin x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\cos xdx\\ v=e^x\end{array}$.

Khi đó $I=e^x\sin x-\int \cos x{e}^{x}dx=e^x\sin x-J$

Tính $J=\int \cos x{e}^{x}dx$. Đặt $\{\begin{array}{l}u=\cos x\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=-\sin xdx\\ v=e^x\end{array}$

Suy ra $J=e^x\cos x+\int \sin x{e}^{x}dx=e^x\cos x+I.$

Do đó $I=e^x\sin x-J=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+I\right)\iff 2I=e^x\sin x-e^x\cos x$

Vậy $I={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(e^x\sin x-e^x\cos x\right)+C$

Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có các hàm số sau thì thứ tự ưu tiên để đặt u là:

Lôgarit → Hàm đa thức → Hàm mũ → Hàm lượng giác

Câu 1: Một nguyên hàm $\int (x-2)\sin 3xdx=-\frac{(x-a)cos3x}{b}+\frac{1}{c}\sin 3x+2017$ thì tổng S=a.b+c bằng:

A. S=14

B. S=15

C. S=3

D. S=10

Câu 2: Tìm nguyên hàm $I=\int (x+\cos x)xdx$

A. $\frac{x^3}{3}+x\sin x-\cos x+c$

B. Đáp án khác

C. $\frac{x^3}{3}+\sin x+x\cos x+c$

D. $\frac{x^3}{3}+x\sin x+\cos x+c$

Câu 3: Tìm họ nguyên hàm $F(x)=\int x^2{e}^{x}dx$ ?

A. $F(x)=(x^2-2x+2)e^x+C$

B. $F(x)=(2x^2-x+2)e^x+C$

C. $F(x)=(x^2+2x+2)e^x+C$

D. $F(x)=(x^2-2x-2)e^x+C$

Câu 4: Biểu thức nào sau đây bằng với $\int x^2\sin xdx$ ?

A. $-2x\cos x-\int x^2\cos xdx$

B. $-x^2\cos x+\int 2x\cos xdx$

C. $-x^2\cos x-\int 2x\cos xdx$

D. $-2x\cos x+\int x^2\cos xdx$

Câu 5: Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x{e}^x$ là:

A. $x{e}^x+e^x+C$

B. $e^x+C$

C. $\frac{x^2}{2}{e}^x+C$

D. $x{e}^x-e^x+C$

Câu 6: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm $y=x.\cos x$ mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây là đúng:

A. F(x) là hàm chẵn

B. F(x) là hàm lẻ

C. F(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi$

D. F(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ

Câu 7: Nguyên hàm $\int x\cos xdx=$

A. $x\sin x+\cos x+C$

B. $x\sin x-\cos x+C$

C. $x\sin x+\cos x$

D. $x\sin x-\cos x$

Câu 8: Nguyên hàm $\int 2x.e^{x}dx=$

A. $2x{e}^x-2e^x+C$

B. $2x{e}^x+2e^x$

C. $2x{e}^x-2e^x$

D. $2x{e}^x+2e^x+C$

Câu 9: $\int x\cos xdx$ bằng:

A. $\frac{x^2}{2}\sin x+C$

B. $x\sin x+c\text{os}x+C$

C. $x\sin x-\text{sin}x+C$

D. $\frac{x^2}{2}c\text{os}x+C$

Câu 10: $\int x\sin x\cos xdx$ bằng:

A. $\frac{1}{2}(\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{x}{2}c\text{os}2x)+C$

B. $-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{x}{4}c\text{os}2x)+C$

C. $\frac{1}{2}(\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{x}{2}c\text{os}2x)+C$

D. $-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{x}{4}c\text{os}2x)+C$

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!