Lý thuyết sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm

- Vi phân:

\(\begin{array}{l}t = u\left( x \right) \Rightarrow dt = u'\left( x \right)dx\\u\left( t \right) = v\left( x \right) \Rightarrow u'\left( t \right)dt = v'\left( x \right)dx\end{array}\)

- Công thức đổi biến:

\(\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx}  = \int {f\left( t \right)dt} \) \( = F\left( t \right) + C = F\left( {t\left( x \right)} \right) + C\)

Dạng 1: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(t = u\left( x \right)\).

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), trong đó \(u\left( x \right)\) là hàm được chọn thích hợp.

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt} \) \( = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).

Ví dụ: Tính nguyên hàm \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx} \).

Giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \) \( \Rightarrow 2tdt = 2xdx\).

Do đó: \(\int {2x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \int {\sqrt {{x^2} + 1} .2xdx}  \) \(= \int {t.2tdt}  = \int {2{t^2}dt}  = \dfrac{2}{3}{t^3} + C \) \(= \dfrac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}  + C\).

Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến \(x = u\left( t \right)\).

- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), trong đó \(u\left( t \right)\) là hàm số ta chọn thích hợp.

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C\)

Ví dụ: Cho nguyên hàm \(I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} ,\,\,\,x \in  \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\), nếu đặt \(x = \sin t\) thì nguyên hàm I tính theo biến t trở thành:

A. \(I = t + \sin 2t + C.\)

B. \(I = \dfrac{t}{2} + \cos 2t + C.\)

C. \(I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\)

D. \(I = \dfrac{t}{2} - \dfrac{{\cos 2t}}{4} + C.\)

Giải:

Đặt \(x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt\) và \(1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} = \int {\sqrt {{{\cos }^2}t} \,\cos t\,{\rm{d}}t} = \int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = \int {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\,{\rm{d}}t} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 2t} \right){\rm{d}}t} = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\end{array}\)

(Vì \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0\) \( \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x}  = \cos x\))

Vậy \(I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\)

Chọn C.

Các dấu hiệu thường dùng phương pháp đổi biến trên là:

Câu 1: \(\int{\frac{3\cos x}{2+\sin x}dx}\) bằng:

A. \(3\ln \left( 2+\sin x \right)+C\)

B. \(-3\ln \left| 2+\sin x \right|+C\)

C. \(\frac{3\sin x}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}+C\)

D. \(-\frac{3\sin x}{\ln \left( 2+\sin x \right)}+C\)

Câu 2: \(\int{\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}dx}\) bằng:

A. \(\ln \left| {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right|+C\)

B. \(-\ln \left| {{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \right|+C\)

C. \(-\ln \left| {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right|+C\)

D. \(\ln \left| {{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \right|+C\)

Câu 3: \(\int{\frac{3\sin x-2\cos x}{3\cos x+2\sin x}dx}\) bằng:

A. \(\ln \left| 3\cos x+2\sin x \right|+C\)

B. \(-\ln \left| 3\cos x+2\sin x \right|+C\)

C. \(\ln \left| 3\sin x-2\cos x \right|+C\)

D. \(-\ln \left| 3\sin x-2\cos x \right|+C\)

Câu 4: Nguyên hàm của \(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\) là:

A. \(\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C\)

B. \(\frac{1}{\ln \left| \sin x-\cos x \right|}+C\)

C. \(\ln \left| \sin x-\cos x \right|+C\)

D. \(\frac{1}{\sin x+\cos x}+C\)

Câu 5: \(\int{\frac{4x-1}{4{{x}^{2}}-2x+5}dx}\) bằng:

A. \(\frac{1}{4{{x}^{2}}-2x+5}+C\)

B. \(-\frac{1}{4{{x}^{2}}-2x+5}+C\)

C. \(-\ln \left| 4{{x}^{2}}-2x+5 \right|+C\)

D. \(\frac{1}{2}\ln \left| 4{{x}^{2}}-2x+5 \right|+C\)

Câu 6: \(\int{\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x+3}}dx}\) bằng:

A. \(\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-x \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x+3}}+C\)

B. \(\left( x-1 \right){{e}^{\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x}}+C\)

C. \(\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}-2x}}+C\)

D. \(\frac{1}{2}{{e}^{{{x}^{2}}-2x+3}}+C\)

Câu 7: \(\int{\frac{\cot x}{{{\sin }^{2}}x}dx}\) bằng:

A. \(-\frac{{{\cot }^{2}}x}{2}+C\)

B. \(\frac{{{\cot }^{2}}x}{2}+C\)

C. \(-\frac{{{\tan }^{2}}x}{2}+C\)

D. \(\frac{{{\tan }^{2}}x}{2}+C\)

Câu 8: \(\int{\frac{\sin x}{c\text{o}{{\text{s}}^{5}}x}dx}\) bằng:

A. \(\frac{-1}{4c\text{o}{{\text{s}}^{4}}x}+C\)

B. \(\frac{1}{4c\text{o}{{\text{s}}^{4}}x}+C\)

C. \(\frac{1}{4\text{si}{{\text{n}}^{4}}x}+C\)

D. \(\frac{-1}{4\text{si}{{\text{n}}^{4}}x}+C\)

Câu 9: \(\int{{{\sin }^{5}}x.c\text{os}xdx}\) bằng:

A. \(\frac{{{\sin }^{6}}x}{6}+C\)

B. \(-\frac{{{\sin }^{6}}x}{6}+C\)

C. \(-\frac{c\text{o}{{\text{s}}^{6}}x}{6}+C\)

D. \(\frac{c\text{o}{{\text{s}}^{6}}x}{6}+C\)

Câu 10: \(\int{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}dx}\) bằng:

A. \(\frac{1}{2}\left( \frac{1}{3}\sqrt{1+\ln x}-\sqrt{1+\ln x} \right)+C\)

B. \(\left( \frac{1}{3}\sqrt{1+\ln x}-\sqrt{1+\ln x} \right)+C\)

C. \(2\left( \frac{1}{3}\sqrt{{{(1+\ln x)}^{3}}}-\sqrt{1+\ln x} \right)+C\)

D. \(2\left( \frac{1}{3}\sqrt{1+\ln x}+\sqrt{1+\ln x} \right)+C\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!