Lý thuyết nguyên hàm và một số dạng toán thường gặp

+ Định nghĩa: \(\int {f(x)dx = F(x) + C \Leftrightarrow F'(x) = f(x)} \)

+ Tính chất:

1/ \(\int {f'(x)dx = f(x) + C} \)

2/ \(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} } \) với \(\forall k \ne 0\).

3/ \(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx = } \int {f(x)dx}  \pm \int {g(x)dx} \)

+ Bảng nguyên hàm:

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi hàm số \(f\left( x \right)\) về các hàm số sơ cấp có nguyên hàm đã biết.

- Bước 2: Sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…để tìm nguyên hàm các hàm số.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\).

Giải:

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 1}}{{{x^2}}} \) \(= {x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

Do đó \(F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}  \) \(= \int {{x^2}dx}  - 2\int {dx}  + \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx}  \) \(= \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\).

Dạng 2: Tìm hàm số cho biết đạo hàm và giá trị của hàm số tại một điểm.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm nguyên hàm của hàm số đã cho, sử dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm,…

- Bước 2: Thay giá trị đề bài cho vào và tìm hằng số \(C\) suy ra hàm số cần tìm.

Ví dụ: Tìm hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F'\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt[3]{x}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(F\left( 1 \right) = 3\).

Giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt[3]{x}}} = \left( {x - 1} \right){x^{ - \frac{1}{3}}} = {x^{\frac{2}{3}}} - {x^{ - \frac{1}{3}}}\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {F'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^{\frac{2}{3}}} - {x^{ - \frac{1}{3}}}} \right)dx} \end{array}\)

\(  = \dfrac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\dfrac{2}{3} + 1}} - \dfrac{{{x^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \dfrac{1}{3} + 1}} + C = \dfrac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} - \dfrac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C\)

Lại có \(F\left( 1 \right) = 3\) nên \(\dfrac{3}{5}{.1^{\frac{5}{3}}} - \dfrac{3}{2}{.1^{\frac{2}{3}}} + C = 3 \Leftrightarrow C = \dfrac{{39}}{{10}}\).

Vậy \(F\left( x \right) = \dfrac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} - \dfrac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + \dfrac{{39}}{{10}}\).

Câu  1: Nguyên hàm của \(2x\left( 1+3{{x}^{3}} \right)\) là:

A. \({{x}^{2}}\left( x+{{x}^{3}} \right)+C\)

B. \({{x}^{2}}\left( 1+3{{x}^{2}} \right)+C\)

C. \(2x\left( x+{{x}^{3}} \right)+C\)

D. \({{x}^{2}}\left( 1+\frac{6{{x}^{3}}}{5} \right)+C\)

Câu 2: Nguyên hàm của \(\frac{1}{{{x}^{2}}}-{{x}^{2}}-\frac{1}{3}\) là:

A. \(-\frac{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+3}{3x}+C\)

B. \(-\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{1}{x}-\frac{x}{3}+C\)

C. \(\frac{-{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+3}{3x}+C\)

D. \(-\frac{1}{x}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+C\)

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt[3]{x}\) là:

A. \(F\left( x \right)=\frac{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{4}+C\)

B. \(F\left( x \right)=\frac{3x\sqrt[3]{x}}{4}+C\)

C. \(F\left( x \right)=\frac{4x}{3\sqrt[3]{x}}+C\)

D. \(F\left( x \right)=\frac{4x}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+C\)

Câu 4: Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{x\sqrt{x}}\) là:

A. \(F\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{x}}+C\)

B. \(F\left( x \right)=-\frac{2}{\sqrt{x}}+C\)

C. \(F\left( x \right)=\frac{\sqrt{x}}{2}+C\)

D. \(F\left( x \right)=-\frac{\sqrt{x}}{2}+C\)

Câu 5: \(\int{\left( \frac{5}{x}+\sqrt{{{x}^{3}}} \right)dx}\) bằng:

A. \(5\ln \left| x \right|-\frac{2}{5}\sqrt{{{x}^{5}}}+C\)

B. \(-5\ln \left| x \right|+\frac{2}{5}\sqrt{{{x}^{5}}}+C\)

C. \(-5\ln \left| x \right|-\frac{2}{5}\sqrt{{{x}^{5}}}+C\)

D. \(5\ln \left| x \right|+\frac{2}{5}\sqrt{{{x}^{5}}}+C\)

ĐÁP ÁN

1D          2A          3B          4B          5B

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết nguyên hàm và một số dạng toán thường gặp. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!