Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

1. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;-2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(1;-1;2)\).

Lời giải

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;-2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(1;-1;2)\) có phương trình là: \(\,1(x-1)-1(y-0)+2(z+2)=0 \Leftrightarrow \,\,x-y+2z+3=0\).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x-y+2z+3=0.

2. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua 1 điểm \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) và song song với 1 mặt phẳng \(\left( \beta  \right):Ax+By+Cz+D=0\) cho trước. Phương pháp giải Cách 1: Thực hiện theo các bước sau: 1. VTPT của \(\left( \beta  \right)\) là \(\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( A;B;C \right).\) 2. \(\left( \alpha  \right)\)//\(\left( \beta  \right)\) nên VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( A;B;C \right).\) 3. Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\):\(A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0.\) Cách 2: 1. Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)//\(\left( \beta  \right)\) nên phương trình \(\left( P \right)\) có dạng: \(Ax+By+Cz+{D}'=0\)(*), với \({D}'\ne D\). 2. Vì \(\left( P \right)\) qua 1 điểm \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) nên thay tọa độ \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) vào (*) tìm được \({D}'\).

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0;1;3) và song song với  mặt phẳng (Q):2x-3z+1=0.

Lời giải

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q):2x-3z+1=0 nên mặt phẳng (P) có phương trình dạng: \(2x-3z+D=0\,\,\,(D\ne 1)\)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: \(2.0-3.3+D=0\Leftrightarrow D=9\) (thỏa mãn \(D\ne 1\)).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2x-3z+9=0.

3. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Phương pháp giải 1.  Tìm tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.\) 2. Vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là : \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\) 3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C). 4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}.\)

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(1;0;-2),\, B(1;1;1), C(0;-1;2)\)

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(0;1;3),\overrightarrow{AC}=(-1;-1:4) \Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\, \right]=(7;-3;1)\)

Gọi \(\overrightarrow{n}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có

\(\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} \right.\) nên \(\overrightarrow{n}\) cùng phương với \(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\, \right]\)

Chọn \(\overrightarrow{n}=(7;-3;1)\) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là: 7(x-1)-3(y-0)+1(z+2)=0

\(\Leftrightarrow 7x-3y+z-5=0\)

4. Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của \(\Delta \) là \({{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}.\) 2. Vì \(\left( \alpha  \right)\bot \Delta \) nên \(\left( \alpha  \right)\) có VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\) 3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}.\)

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua  điểm O và vuông góc với đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix} x=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \\ y=-1+2t \\ z=\,\,\,\,\,\,\,2+t. \\ \end{matrix} \right.\)

Lời giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;2;1).\)

Mặt phẳng \((\alpha )\) vuông góc với đường thẳng d nên \((\alpha )\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;2;1)\)

Đồng thời \((\alpha )\) đi qua điểm O nên có phương trình là: x+2y+z=0

5. Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa đường thẳng \(\Delta \), vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right).\) Phương pháp giải 1. Tìm VTPT  của \(\left( \beta  \right)\) là \(\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}.\) 2. Tìm VTCP của  \(\Delta \) là \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\) 3. VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\beta }}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right].\) 4. Lấy một điểm M trên \(\Delta .\) 5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix} x=\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,t \\ y=-1+2t \\ z=\,\,\,\,\,2+t. \\ \end{matrix} \right.\) và vuông góc với \(\left( \beta  \right):x+2y-z+1=0.\)

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm \(A\left( 0;-1;2 \right)\) và có VTCP là: \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(-1;2;1).\)

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 1;2;-1 \right)\).

Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa đường thẳng d và vuông góc với \(\left( \beta  \right)\) nên \((\alpha )\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( -4;0;-4 \right)=-4\left( 1;0;1 \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: x+z-2=0.

6. Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right).\) Phương pháp giải 1. Tìm VTPT  của \(\left( \beta  \right)\) là \(\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}.\) 2. Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB}.\) 3. VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\beta }}},\overrightarrow{AB} \right].\) 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm A(1;2;-2),B(2;-1;4) và vuông góc với \(\left( \beta  \right):x-2y-z+1=0.\)

Lời giải

Có \(\overrightarrow{AB}=\left( 1;-3;6 \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left( 1;-2;-1 \right)\)

Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa A, B và vuông góc với \(\left( \beta  \right)\) nên \((\alpha )\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]=\left( 15;7;1 \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: 15x+7z+1-27=0.

7. Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa đường thẳng \(\Delta \) và song song với \({\Delta }'\) (\(\Delta ,{\Delta }'\) chéo nhau). Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của \(\Delta \) và \({\Delta }'\) là \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\) và \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta '}}}.\) 2. VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }'}}}} \right].\) 3. Lấy một điểm M trên \(\Delta .\) 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng \({{d}_{1}}:\left\{ \begin{matrix} x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ y=1-2t \\ z=\,1+\,\,\,\,t \\ \end{matrix} \right.\) và song song với đường thẳng \({{d}_{2}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{2}\).

Lời giải

Đường thẳng \({{d}_{1}}\) đi qua điểm \({{M}_{1}}(1;1;1)\) vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}(0;-2;1)\)

Đường thẳng \({{d}_{2}}\) đi qua điểm \({{M}_{2}}(1;0;1)\) vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{2}}}(1;2;2)\)

Ta có \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-6;1;2)\)

Gọi \(\overrightarrow{n}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), ta có:

\(\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\ \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}} \\ \end{matrix} \right.\) nên \(\overrightarrow{n}\) cùng phương với \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\)

Chọn \(\overrightarrow{n}=(-6;1;2)\)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \({{M}_{1}}(1;1;1)\) và nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(-6;1;2)\) có phương trình:

\(\,\,\,\,-6(x-1)+1(y-1)+2(z-1)=0\)

\(\Leftrightarrow -6x+y+2z+3=0\)

Thay tọa độ điểm \({{M}_{2}}\) vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -6x+y+2z+3=0.

8. Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa đường thẳng  \(\Delta \) và 1 điểm M Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\), lấy 1 điểm N trên \(\Delta \). Tính tọa độ \(\overrightarrow{MN}.\) 2. VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{MN} \right].\) 3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix} x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ y=1-2t \\ z=\,1+\,\,\,\,t \\ \end{matrix} \right.\) và điểm M(-4;3;2).

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm N(1;1;1) vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}(0;-2;1)\)

\(\overrightarrow{MN}=\left( 5;-2;-1 \right).\)

Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa đường thẳng d và điểm M nên \((\alpha )\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{MN} \right]=\left( 4;5;10 \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: 4x+5y+10z-19=0.

9. Dạng 9:  Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa 2 đường thẳng  cắt nhau \(\Delta \) và \({\Delta }'.\) Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của  \(\Delta \) và \({\Delta }'\) là \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\) và \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta '}}}.\) 2. VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta '}}} \right].\) 3. Lấy một điểm M trên \(\Delta .\) 4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng \({{d}_{1}}:\left\{ \begin{matrix} x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ y=1-2t \\ z=\,1+\,\,\,\,t \\ \end{matrix} \right.\) và \({{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=1-2t \\ & z=1+t \\ \end{align} \right..\)

Lời giải

Đường thẳng \({{d}_{1}}\) đi qua điểm \({{M}_{1}}(1;1;1)\) vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}(0;-2;1)\)

Đường thẳng \({{d}_{2}}\) đi qua điểm \({{M}_{2}}(1;1;1)\) vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{2}}}(3;-2;1)\).

Ta có \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 0;3;6 \right)\), \(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 0;0;0 \right)\)

Do \(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=0\) nên đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) cắt nhau.

Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) cắt nhau nên \((\alpha )\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 0;3;6 \right)=3\left( 0;1;2 \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: y+2z-3=0.

10. Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa 2 song song \(\Delta \) và \({\Delta }'.\) Phương pháp giải 1. Tìm VTCP của  \(\Delta \) và \({\Delta }'\) là \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\) và \(\overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }'}}}}\), lấy \(M\in \Delta ,N\in {\Delta }'.\) 2. VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{MN} \right].\) 3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\] chứa đường thẳng \({{d}_{1}}:\left\{ \begin{matrix} x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ y=1-2t \\ z=\,1+\,\,\,\,t \\ \end{matrix} \right.\) và \({{d}_{2}}:\left\{ \begin{matrix} x=4\,\,\,\,\,\, \\ y=3-4t \\ z=\,1+\,\,2\,\,t \\ \end{matrix} \right.\)

Lời giải

Đường thẳng \({{d}_{1}}\) đi qua điểm \({{M}_{1}}(1;1;1)\) vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}(0;-2;1)\).

Đường thẳng \({{d}_{2}}\) đi qua điểm \({{M}_{2}}\left( 4;3;1 \right)\) vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 0;-4;2 \right)\).

Ta có \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 3;2;0 \right).\)

Do \(\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\overrightarrow{0}\) nên đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) song song

Mặt phẳng \((\alpha )\) chứa đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) song song nên \((\alpha )\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right]=\left( -2;3;6 \right)=-\left( 2;-3;-6 \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: 2x-3y-6z+7=0.

14. Dạng 14:  Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):Ax+By+Cz+D=0\) cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

Chúc các em học tập tốt!