Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

1. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

Phương pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;-2) và có vectơ pháp tuyến n(1;1;2).

Lời giải

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;-2) và có vectơ pháp tuyến n(1;1;2) có phương trình là: 1(x1)1(y0)+2(z+2)=0xy+2z+3=0.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x-y+2z+3=0.

2. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 1 điểm M0(x0;y0;z0) và song song với 1 mặt phẳng (β):Ax+By+Cz+D=0 cho trước.

Phương pháp giải

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

1. VTPT của (β)nβ=(A;B;C).

2. (α)//(β) nên VTPT của mặt phẳng (α)nα=nβ=(A;B;C).

3. Phương trình mặt phẳng (α):A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0.

Cách 2:

1. Mặt phẳng (α)//(β) nên phương trình (P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0(*), với DD.

2. Vì (P) qua 1 điểm M0(x0;y0;z0) nên thay tọa độ M0(x0;y0;z0) vào (*) tìm được D.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0;1;3) và song song với  mặt phẳng (Q):2x-3z+1=0.

Lời giải

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q):2x-3z+1=0 nên mặt phẳng (P) có phương trình dạng: 2x3z+D=0(D1)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: 2.03.3+D=0D=9 (thỏa mãn D1).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2x-3z+9=0.

3. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

Phương pháp giải

1.  Tìm tọa độ các vectơ: AB,AC.

2. Vectơ pháp tuyến của (α) là : nα=[AB,AC].

3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C).

4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT nα.

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0;2),B(1;1;1),C(0;1;2)

Lời giải

Ta có: AB=(0;1;3),AC=(1;1:4)[AB,AC]=(7;3;1)

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có

{nABnAC nên n cùng phương với [AB,AC]

Chọn n=(7;3;1) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là: 7(x-1)-3(y-0)+1(z+2)=0

7x3y+z5=0

4. Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng Δ

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của ΔuΔ.

2. Vì (α)Δ nên (α) có VTPT nα=uΔ.

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT nα.

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua  điểm O và vuông góc với đường thẳng d:{x=ty=1+2tz=2+t.

Lời giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ud=(1;2;1).

Mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng d nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: nα=ud=(1;2;1)

Đồng thời (α) đi qua điểm O nên có phương trình là: x+2y+z=0

5. Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ, vuông góc với mặt phẳng (β).

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT  của (β)nβ.

2. Tìm VTCP của  ΔuΔ.

3. VTPT của mặt phẳng (α) là: nα=[nβ;uΔ].

4. Lấy một điểm M trên Δ.

5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d:{x=ty=1+2tz=2+t. và vuông góc với (β):x+2yz+1=0.

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm A(0;1;2) và có VTCP là: ud=(1;2;1).

Mặt phẳng (β) có VTPT là nβ=(1;2;1).

Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và vuông góc với (β) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: nα=[ud,nβ]=(4;0;4)=4(1;0;1)

Phương trình mặt phẳng (α) là: x+z-2=0.

6. Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β).

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT  của (β)nβ.

2. Tìm tọa độ vectơ AB.

3. VTPT của mặt phẳng (α) là: nα=[nβ,AB].

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1;2;-2),B(2;-1;4) và vuông góc với (β):x2yz+1=0.

Lời giải

AB=(1;3;6)

Mặt phẳng (β) có VTPT là nβ=(1;2;1)

Mặt phẳng (α) chứa A, B và vuông góc với (β) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: nα=[AB,nβ]=(15;7;1)

Phương trình mặt phẳng (α) là: 15x+7z+1-27=0.

7. Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ (Δ,Δ chéo nhau).

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của ΔΔuΔuΔ.

2. VTPT của mặt phẳng (α) là: nα=[uΔ,uΔ].

3. Lấy một điểm M trên Δ.

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1:{x=1y=12tz=1+t và song song với đường thẳng d2:x11=y2=z12.

Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0;2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;0;1) vectơ chỉ phương u2(1;2;2)

Ta có [u1,u2]=(6;1;2)

Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), ta có:

{nu1nu2 nên n cùng phương với [u1,u2]

Chọn n=(6;1;2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M1(1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến n=(6;1;2) có phương trình:

6(x1)+1(y1)+2(z1)=0

6x+y+2z+3=0

Thay tọa độ điểm M2 vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -6x+y+2z+3=0.

8. Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng  Δ và 1 điểm M

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của ΔuΔ, lấy 1 điểm N trên Δ. Tính tọa độ MN.

2. VTPT của mặt phẳng (α) là: nα=[uΔ;MN].

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d:{x=1y=12tz=1+t và điểm M(-4;3;2).

Lời giải

Đường thẳng d đi qua điểm N(1;1;1) vectơ chỉ phương ud(0;2;1)

MN=(5;2;1).

Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và điểm M nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: nα=[ud,MN]=(4;5;10)

Phương trình mặt phẳng (α) là: 4x+5y+10z-19=0.

9. Dạng 9:  Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa 2 đường thẳng  cắt nhau ΔΔ.

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của  ΔΔuΔuΔ.

2. VTPT của mặt phẳng (α) là: nα=[uΔ;uΔ].

3. Lấy một điểm M trên Δ.

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1:{x=1y=12tz=1+t và d2:{x=1+3ty=12tz=1+t.

Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0;2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(1;1;1) vectơ chỉ phương u2(3;2;1).

Ta có [u1,u2]=(0;3;6), M1M2=(0;0;0)

Do M1M2[u1,u2]=0 nên đường thẳng d1,d2 cắt nhau.

Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d1,d2 cắt nhau nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: nα=[u1,u2]=(0;3;6)=3(0;1;2)

Phương trình mặt phẳng (α) là: y+2z-3=0.

10. Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa 2 song song ΔΔ.

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của  ΔΔuΔuΔ, lấy MΔ,NΔ.

2. VTPT của mặt phẳng (α) là: nα=[uΔ;MN].

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\] chứa đường thẳng d1:{x=1y=12tz=1+t và d2:{x=4y=34tz=1+2t

Lời giải

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0;2;1).

Đường thẳng d2 đi qua điểm M2(4;3;1) vectơ chỉ phương u2(0;4;2).

Ta có [u1,u2]=0, M1M2=(3;2;0).

Do [u1,u2]=0 nên đường thẳng d1,d2 song song

Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d1,d2 song song nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: nα=[u1,M1M2]=(2;3;6)=(2;3;6)

Phương trình mặt phẳng (α) là: 2x-3y-6z+7=0.

11. Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng Δ và Δ chéo nhau cho trước.

12. Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q) cho trước.

13. Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) và cách (β):Ax+By+Cz+D=0 một khoảng k cho trước.

14. Dạng 14:  Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β):Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.

15. Dạng 15:  Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S).

16. Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng Δ và tạo với một mặt phẳng (β):Ax+By+Cz+D=0 cho trước một góc φ cho trước.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

Chúc các em học tập tốt!

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?