Hàm số bậc trùng phương và các vấn đề liên quan

HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG : $y=a{x}^4+b{x}^2+c$

1. TXĐ: $D=\mathbb{R}$

2. Đạo hàm: $y^{\prime }=4a{x}^3+2bx=2x(2a{x}^2+b)\Rightarrow y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x^2=-\frac{b}{2a}$.

* Nếu $ab\ge 0$ thì y có một cực trị $x_0=0$

* Nếu ab<0 thì y có 3 cực trị $x_0=0;x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{b}{2a}}$

3. Đạo hàm cấp 2: $y^{″}=12a{x}^2+2b,y^{″}=0\iff x^2=-\frac{b}{6a}$

* Nếu $ab\ge 0$ thì đồ thị không có điểm uốn.

* Nếu ab<0 thì đồ thị có 2 điểm uốn.

4. Bảng biến thiên và đồ thị:

*a>0,b<0: Hàm số có 3 cực trị.

* a < 0,b > 0: Hàm số có 3 cực trị.

* $a>0,b\ge 0$: Hàm số có 1 cực trị.

* $a<0,b\le 0$: Hàm số có 1 cực trị.

Tính chất:

* Đồ thị của hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c(a\ne 0)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng khi phương trình: $a{X}^2+bX+c=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa $X_1=9X_2$.

* Nếu đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có đỉnh nằm trên Oy.

* Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d' đối xứng với d qua Ox cũng là tiếp tuyến của đồ thị.

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=x^4-2x^2-1$ có đồ thị ( C ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số; 2. Dùng đồ thị  (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình                                         $x^4-2x^2-1=m(\ast )$

Lời giải.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

Tập xác định : $D=\mathbb{R}$

Chiều biến thiên :

Ta có : $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1);y^{\prime }=0\iff 4x(x^2-1)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$

$y^{\prime }>0\iff x\in (-1;0)\cup (1;+\mathrm{\infty });y^{\prime }<0\iff x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (0;1)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\mathrm{\infty })$.

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0; giá trị cực đại của hàm số là $y\left(0\right)=-1$.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\pm 1$; giá trị cực tiểu của hàm số là $y(\pm 1)=-2$

Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$.

Bảng biến thiên :

Đồ thị : Cho $y=-1\Rightarrow x=0;x=\pm \sqrt{2}$.

2 . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình:   

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và $\left(d\right):y=m$.

Dựa vào đồ thị, ta thấy :

+ Khi m<-2 thì (*) vô nghiệm.

+ Khi $[\begin{array}{rl}& m=-2\\ & m>-1\end{array}$ thì (*) có 2 nghiệm.

+ Khi -2

+ Khi m=-1 thì (*) có 3 nghiệm.

Ví dụ 2. Cho hàm số  $y=\frac{1}{2}{x}^4-m{x}^2+\frac{3}{2}$ có đồ thị ( C ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số m=3 2. Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

Lời giải.

1. Khi m=3 thì  hàm số là : $y=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}.$

Tập xác định : $D=\mathbb{R}$.

Chiều biến thiên :

Bảng biến thiên :

+ Ta có : $y^{\prime }=2{\text{x}}^3-6\text{x}=2\text{x}(x^2-3)$

$y^{\prime }=0\iff 2\text{x}(x^2-3)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\pm \sqrt{3}\end{array}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\sqrt{3};0)$ và $(\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$, nghịch biến trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3})$ và $(0;\sqrt{3})$

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0; giá trị cực đại của hàm số là $y\left(0\right)=\frac{3}{2}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=\pm \sqrt{3}$; giá trị cực tiểu của hàm số là $y(\pm \sqrt{3})=-3$.

Giới hạn của hàm số tại vô cực : $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }.$

Bảng biến thiên:

Đồ thị :

Cho $y=\frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}{x}^4-3x^2=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\pm \sqrt{6}\end{array}$

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên đồ thị của nó nhận trục tung làm  trục đối xứng .

Đồ thị (hình vẽ):

2. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

Đạo hàm: $y^{\prime }=2x^3-2mx;y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x^2=m(\ast )$

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại

⇔ y’ = 0  có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó

⇔ Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Vậy giá trị cần tìm là: $m\le 0$.

...

Bài 1: Cho hàm số  $y=x^4+3(m+1)x^2+3m+2$, có đồ thị là $\left(C_m\right)$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left(C_1\right)$khi m=1

2. Tìm các giá trị của m để $\left(C_m\right)$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông.

Bài 2: Cho hàm số $y=x^4-2x^2-2$ có đồ thị là  (C).

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+24y+1=0.

3. Tìm a để Parabol (P): $y=2x^2+a$ tiếp xúc với (C).

...

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

2. Ta có : $y^{\prime }=4x^3+6(m+1)x=2x(2x^2+3m+3)$

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $2x^2+3m+3=0\text{ (*)}$

Hàm có ba cực trị$\iff 3m+3<0\iff m<-1$. Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: $A(0;3m+2),\text{ B}\left(\sqrt{\frac{-3m-3}{2};}k\right),\text{ C}(-\sqrt{\frac{-3m-3}{2};}k)$, trong đó $k=-\frac{9}{4}{(m+1)}^2+3m+2$.

Ta thấy AB=AC nên tam giác ABC vuông (chỉ vuông tại 1)

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\iff \frac{3(m+1)}{2}+{(k-3m-2)}^2=0$

$\iff \frac{3(m+1)}{2}+\frac{81}{16}{(m+1)}^4=0$

$\iff 27{(m+1)}^3=-8\iff m=-\frac{5}{3}$ (Thỏa mãn điều kiện : m<-1).

Bài 2:

2. Gọi $M(x_0;y_0)$ là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+24y+1=0

$\iff y=-\frac{1}{24}x-\frac{1}{24}$ nên ta có $y^{\prime }(x_0)=24\iff x_0^3-x_0-6=0\iff x_0=2\Rightarrow y_0=6$.

Vậy phương trình tiếp tuyến: y=24(x-2)+6=24x-42.

3. (P) tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm

$\{\begin{array}{l}{x}^4-2x^2-2=2x^2+a\\ 4x^3-4x=4x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^4-2x^2-2=2x^2+a\\ 4x(x^2-2)=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}{x}^4-4x^2-2=a\\ x=0,x=\pm \sqrt{2}\end{array}$$\Rightarrow a=-2,a=-6$

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Hàm số bậc trùng phương và các vấn đề liên quan. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hữu tỷ

Chúc các em học tập tốt!