Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía, hai phía của đường thẳng cho trước

1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

– Gọi I là trung điểm của AB.

– Giải điều kiện: \(\left\{ \begin{align} & \Delta \bot d \\ & I\in d \\ \end{align} \right.\).

2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Giải điều kiện: d(A,d)=d(B,d).

3. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị).

– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.

4. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông góc) với đường thẳng d:y=px+q.

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

– Giải điều kiện: k=p (hoặc \(k=-\frac{1}{p}\)).

5. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d:y=px+q một góc \(\alpha \).

– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.

– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

– Giải điều kiện: \(\left| \frac{k-p}{1+kp} \right|=\tan \alpha \). (Đặc biệt nếu d trùng Ox, thì giải điều kiện: \(\left| k \right|=\tan \alpha \))

Chú ý: Cực trị hàm đa thức bậc 3:

a) Hàm số: \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,\left( a\ne 0 \right)\) 

b) Đạo hàm: \(y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c\)

c) Điều kiện tồn tại cực trị

Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình \({y}'=0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Hoành độ \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\) của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình \({y}'=0\).

d) Kỹ năng tính nhanh cực trị 

Giả sử \(\Delta '={{b}^{\text{2}}}-\text{3}ac>\text{ }0\) khi đó y'=0 có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) với

\({{x}_{1,2}}=\tfrac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-3ac}}{3a}\) và hàm số đạt cực trị tại \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)

Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:

\({{y}_{1}}=y\left( {{x}_{1}} \right)=y\left( \tfrac{-b-\sqrt{{{b}^{2}}-3ac}}{3a} \right)\,\,;\,\,\ {{y}_{2}}=y\left( {{x}_{2}} \right)=y\left( \tfrac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-3ac}}{3a} \right)\)

Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm.

Bước 1: Thực hiện phép chia y cho y' ta có: \(y=\left( \tfrac{1}{3}x+\tfrac{b}{9a} \right)y'+\tfrac{2}{3}\left( c-\tfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+\left( d-\tfrac{bc}{9a} \right)\)

hay \(y=y'.q(x)+r(x)\) với bậc \(r\left( x \right)=1\)

Bước 2: Do \(\left\{ \begin{array}{l} y'\left( {{x_1}} \right) = 0\\ y'\left( {{x_2}} \right) = 0 \end{array} \right.{\rm{nê n }}\left\{ \begin{array}{l} {y_1} = y\left( {{x_1}} \right) = r\left( {{x_1}} \right) = {\textstyle{2 \over 3}}\left( {c - {\textstyle{{{b^2}} \over {3a}}}} \right){x_1} + \left( {d - {\textstyle{{bc} \over {9a}}}} \right)\\ {y_2} = y\left( {{x_2}} \right) = r\left( {{x_2}} \right) = {\textstyle{2 \over 3}}\left( {c - {\textstyle{{{b^2}} \over {3a}}}} \right){x_2} + \left( {d - {\textstyle{{bc} \over {9a}}}} \right) \end{array} \right.\)

Hệ quả:

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: \(y=r\left( x \right)\)

Đối với hàm số tổng quát : \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,\,(a\ne 0)\) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình: \(y=\tfrac{2}{3}\left( c-\tfrac{{{b}^{2}}}{3a} \right)x+\left( d-\tfrac{bc}{9a} \right)\)

Chú ý: Gọi a là góc giữa hai đường thẳng \({{d}_{1}}:y={{k}_{1}}x+{{b}_{1}},\,\,{{d}_{2}}:y={{k}_{2}}x+{{b}_{2}}\) thì \(\tan \alpha =\left| \frac{{{k}_{1}}-{{k}_{2}}}{1+{{k}_{1}}{{k}_{2}}} \right|\)

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-3m-1\) (m là tham số) có đồ thị là \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right).\) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng \(\text{d}:x+8y-74=0\).

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=-3{{x}^{2}}+6mx\)

Đồ thị \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có 2 điểm cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}} \Leftrightarrow m\ne 0\)

Khi đó 2 điểm cực trị là: \(A(0;-3m-1),\,\,B(2m;4{{m}^{3}}-3m-1) \Rightarrow \overrightarrow{AB}(2m;4{{m}^{3}})\)

Trung điểm I của AB có toạ độ: \(I(m;2{{m}^{3}}-3m-1)\)

Đường thẳng \(\text{d}:x+8y-74=0\) có một VTCP \(\overrightarrow{u}=(8;-1)\).

A và B đối xứng với nhau qua d

⇔ \(\left\{ \begin{align} & I\in d \\ & AB\bot d \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m+8(2{{m}^{3}}-3m-1)-74=0 \\ & \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow m=2\)

Vậy, với m=2 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng \(\text{d}:x+8y-74=0\).

Chú ý: Bài toán có thể yêu cầu như sau:

‘’ Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-3m-1\) có đồ thị là \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right).\) Tìm trên đồ thị hàm số  điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d:\mathsf{ }x+8y-74=0\)’’.

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+2\) (M là tham số) có đồ thị là \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right).\) Xác định m để \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6x-m\)

Đồ thị \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có 2 điểm cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}} \Leftrightarrow \Delta '=9+3m>0\Leftrightarrow m>-3\)

Gọi hai điểm cực trị là \(A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right);B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\)

Thực hiện phép chia y cho y' ta được: \(y=\left( \frac{1}{3}x-\frac{1}{3} \right)y'-\left( \frac{2m}{3}+2 \right)x+\left( 2-\frac{m}{3} \right)\)

\(\Rightarrow {{y}_{1}}=y\left( {{x}_{1}} \right)=-\left( \frac{2m}{3}+2 \right){{x}_{1}}+\left( 2-\frac{m}{3} \right);\,\,{{y}_{2}}=y\left( {{x}_{2}} \right)=-\left( \frac{2m}{3}+2 \right){{x}_{2}}+\left( 2-\frac{m}{3} \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \(\Delta :\mathsf{ }y=-\left( \frac{2m}{3}+2 \right)x+\left( 2-\frac{m}{3} \right)\)

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng \(y=x-1 \Leftrightarrow \) xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng \(y=x-1 \Leftrightarrow -\left( \frac{2m}{3}+2 \right)=1\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\) (thỏa mãn)

TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y=x-1

\(\Leftrightarrow {{y}_{I}}={{x}_{I}}-1\Leftrightarrow \frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}-1\Leftrightarrow -\left( \frac{2m}{3}+2 \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2\left( 2-\frac{m}{3} \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-2\)

\(\Leftrightarrow \left( \frac{2m}{3}+3 \right).2=6-\frac{2m}{3}\Leftrightarrow m=0\)

Vậy, các giá trị cần tìm của m là: \(m=-\frac{3}{2}\), m=0 thì  đồ thị của hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Bài 1: Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx\). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cho  có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x-2y-5=0.

Bài 2: Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+9x+m-2\). Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x-2y=0.

Bài 3:

1. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+7\text{x}+3\). Tìm m để đồ thị các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y=3x-7.

2. Tìm m để hàm số: \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 5m-4 \right)x+2\) có cực đại , cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(\left( d \right):8x+3y+9=0\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía, hai phía của đường thẳng cho trước. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía, hai phía của hệ trục tọa độ

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu Toán 12

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị Toán 12

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị tại điểm Toán 12

Chúc các em học tập tốt!