Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía, hai phía của hệ trục tọa độ

Giả sử \(y'=a{{x}^{2}}+bx+c\)

* Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung \(\Leftrightarrow {{y}_{1}}.{{y}_{2}}<0\).

* Hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung \(\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0\).

* Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành \(\Leftrightarrow {{y}_{1}}+{{y}_{2}}>0,\mathsf{ }{{y}_{1}}.{{y}_{2}}>0\).

* Hàm số có hai cực trị nằm dưới trục hoành \(\Leftrightarrow {{y}_{1}}+{{y}_{2}}<0,\mathsf{ }{{y}_{1}}.{{y}_{2}}>0\).

* Hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành \(\Leftrightarrow {{y}_{1}}.{{y}_{2}}=0\).

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m2\) (m là tham số) có đồ thị là \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right).\) Xác định m để \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) và trục hoành:

\({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m2=0 \left( 1 \right)\)

\(\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(g(x)={{x}^{2}}+2x+m-2=0 \left( 2 \right)\)

\(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt 

Tức phương trình \(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta {{\,}^{\prime }}=3-m>0 \\ & g(-1)=m-3\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow m<3\)

Vậy, với m<3 thì hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+(2m-1)x-3\) (m là tham số) có đồ thị là \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right).\) Xác định m để \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'={{x}^{2}}-2mx+2m-1\)

Đồ thị \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng phía đối với trục tung

⇔ \(y{{\,}^{\prime }}=0\) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

⇔ \(\left\{ \begin{align} & {{\Delta }^{\prime }}={{m}^{2}}-2m+1>0 \\ & 2m-1>0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 1 \\ & m>\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\).

Bài 1: Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2m{{\text{x}}^{2}}-4\). Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị đều nằm trên các trục toạ độ

Hướng dẫn giải

+ Nếu \(m\le 0\) thì đồ thị có 1 điểm cực trị duy nhất \((0;-4)\in Oy\).

+ Nếu m>0 thì \(({{C}_{m}})\) có 3 điểm cực trị \(A(0;-4),\,B(-\sqrt{m};{{m}^{2}}-4),\,C(\sqrt{m};{{m}^{2}}-4)\).

Để A, B, C nằm trên các trục toạ độ thì B, C \(\in\) Ox 

⇔ \(\left\{ \begin{align} & m>0 \\ & {{m}^{2}}-4=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow m=2\).

Bài 2: Tìm m để hàm số \(y=2{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-12x-13\) có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung.

Hướng dẫn giải

Ta có \(y'=2(3{{x}^{2}}+mx-6)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+mx-6=0\) (1)

Vì (1) luôn có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số luôn có hai cực trị.

Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hoành độ hai cực trị, hai điểm cực trị cách đều trục tung

\(\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=\left| {{x}_{2}} \right|\)

\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-{{x}_{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0\) (vì \({{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\))

\(\Leftrightarrow S=\frac{-b}{a}=\frac{-m}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow m=0\).

Bài 3: Tìm m để hàm số \(y=\frac{m{{x}^{2}}+3mx+2m+1}{x-1}\) có hai điểm cực đại, cực tiểu và hai điểm đó nằm về hai phía với trục Ox .

Hướng dẫn giải

Ta có \(y'=\frac{m{{x}^{2}}-2mx-5m-1}{{{(x-1)}^{2}}}\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2mx-5m-1=0\text{  }(x\ne 1)\text{  }(3)\)

(3) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne 1\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & m(6m+1)>0 \\ & -6m-1\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-\frac{1}{6} \\ & m>0 \\ \end{align} \right..\)

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía trục Ox

\(\Leftrightarrow y({{x}_{1}}).y({{x}_{2}})<0\) \(\left( * \right)\).

Lại có \(y({{x}_{1}})=2m({{x}_{1}}-1)\), \(y({{x}_{2}})=2m({{x}_{2}}-1)\)

\(\Rightarrow y({{x}_{1}}).y({{x}_{2}})=4m(-2m-1)\)

Bài 4 : Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+(2m+1){{x}^{2}}-({{m}^{2}}-3m+2)x-4\) (m là tham số) có đồ thị là \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\). Xác định m để \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=-{{x}^{2}}+\left( 2m+1 \right)x-({{m}^{2}}-3m+2)\)

Đồ thị \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

⇔ \({{y}^{\prime }}=0\) có 2 nghiệm trái dấu

⇔ \(3({{m}^{2}}-3m+2)<0\)

⇔ 1 < m < 2

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về một phía, hai phía của hệ trục tọa độ. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

 

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu hoặc trái dấu Toán 12

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị Toán 12

• Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực trị tại điểm Toán 12

Chúc các em học tập tốt!