Phương pháp tìm cực trị của hàm số trên tập xác định Toán 12

- Tìm tập xác định D của hàm số f.

- Tính f’(x).

- Tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 (nếu có) và tìm các điểm x₀ \(\in \) D mà tại đó hàm f liên tục nhưng f’(x₀) không tồn tại.

- Vận dụng định lý 2 (lập bảng xét dấu f’(x)) hay định lý 3 (tính f’’(x)) để xác địnhđiểm cực trị của hàm số.

Chú ý: Cho hàm số y=f(x) xác định trên D.

Điểm \(x={{x}_{0}}\in D\) là điểm cực trị của hàm số khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây cùng thảo mãn:

\(\bullet \text{ }\)Tại \(x={{x}_{0}}\) đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại

\(\bullet \text{ }\) Đạo hàm đổi dấu khi x đi qua \({{x}_{0}}\).

Ví dụ: Tìm cực trị của các hàm số sau: 1. \(y=\frac{1-{{x}^{2}}}{x}\) 2. \(y=\frac{-{{x}^{2}}+x+1}{2x-4}\)

Lời giải.

1. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Ta có: \(y'=-1-\frac{1}{{{x}^{2}}}<0\, \forall \text{x}\in \text{D}\), suy ra  hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và không có điểm cực trị.

Giới hạn : \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ; \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty .\)

Bảng biến thiên

2. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Ta có: \(y'=\frac{-2{{x}^{2}}+8x-6}{{{(x-2)}^{2}}}, \forall \text{x}\in \text{D:} \) \(y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1\,\,,\,\,y=-\frac{1}{2} \\ & x=3\,\,,\,\,y=-\frac{5}{2} \\ \end{align} \right.\)

Giới hạn : \(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ; \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty .\)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại \(\text{x}=\text{3 },{{\text{y}}_{\text{C}}}=-\frac{5}{2}\), hàm số đạt cực tiểu tại \(\text{x}=\text{1 },{{\text{y}}_{\text{CT}}}=-\frac{1}{2}\).

Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: 1. \(y=-\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}-3x+1\) 2. \(\text{y}={{\left( \text{x}\text{2} \right)}^{\text{3}}}\text{3x}+\text{4}.\)

Lời giải.

1. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=-{{x}^{2}}+4x-3$, \forall \text{x}\in \text{D:y }\!\!'\!\!\text{ }=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1\,\,,\,\,y(1)=-\frac{1}{3} \\ & x=3\,\,,\,\,y(3)=1 \\ \end{align} \right.\)

Giới hạn : \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( -\frac{1}{3}+\frac{2}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)=+\infty \);

                  \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( -\frac{1}{3}+\frac{2}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)=-\infty \)

Bảng biến thiên

 Hàm số  đạt cực tiểu tại \(\text{x}=\text{1}\) và \({{\text{y}}_{\text{CT}}}=-\frac{1}{3}\), hàm số  đạt cực đại tại \(\text{x}=\text{3}\) và \({{\text{y}}_{\text{C}}}=\text{ 1}\).

2. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\)

Ta có: \(\text{y }\!\!'\!\!\text{ }=\text{3}{{\left( \text{x}\text{2} \right)}^{\text{3}}}\text{3}~\), \(\forall \text{x}\in \text{D:} y'=0\Leftrightarrow 3{{(x-2)}^{2}}=3\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}=1 \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1\,,\,y(1)=0 \\ & x=3\,,\,y(3)=-4 \\ \end{align} \right.\)

Giới hạn : \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \)

Bảng biến thiên

Hàm số  đạt cực tiểu tại \(\text{x}=3\) và \({{\text{y}}_{\text{CT}}}=-4\),hàm số  đạt cực đại tại \(\text{x}=1\] và \({{\text{y}}_{\text{C}}}=\text{ 0}\).

Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: 1. \(y=-\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+\frac{5}{4}\) 2. \(\text{y}=\text{2}{{\text{x}}^{\text{3}}}+\text{3x}+\text{1}.\)

Lời giải.

1. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=-{{x}^{3}}-2x=-x({{x}^{2}}+2)$, \forall \text{x}\in \text{D:} y'=0\Leftrightarrow x=0\,,\,y(0)=\frac{5}{4}\)

Giới hạn : \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( -\frac{1}{4}-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{5}{4{{x}^{4}}} \right)=-\infty ;\)

                 \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( -\frac{1}{4}-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{5}{4{{x}^{4}}} \right)=-\infty \)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(\text{x}=0\text{ },\text{ }{{\text{y}}_{\text{C}}}=\frac{5}{4}\).

2. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\)

Ta có: \(\text{y }\!\!'\!\!\text{ }=\text{6}{{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{ 3}>0 \forall \text{x}\in \text{D}\), suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Giới hạn : \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( 2+\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)=-\infty ; \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( 2+\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)=+\infty \)

Bảng biến thiên

Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau: 1. \(y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3\) 2. \(\text{y}={{\text{x}}^{\text{4}}}\text{2}{{\text{x}}^{\text{2}}}-~\text{3}\)

Lời giải.

1. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=-4{{x}^{3}}+4x=-4x({{x}^{2}}-1), \forall \text{x}\in \text{D:}\) \(y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\,\,,\,\,y(0)=3 \\ & x=\pm 1\,\,,\,\,y(\pm 1)=4 \\ \end{align} \right.\)

Giới hạn : \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(\text{x}=0\text{ },\text{ }{{\text{y}}_{\text{CT}}}=\text{ 3}.\)

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(\text{x}=\pm 1,\text{ }{{\text{y}}_{\text{C}}}=\text{ 4}\)

2. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=4{{x}^{3}}-4x=4x({{x}^{2}}-1), \forall \text{x}\in \text{D:}\) \(y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\,\,,\,\,y(0)=-3 \\ & x=\pm 1\,\,,\,\,y(\pm 1)=-4 \\ \end{align} \right.\)

Giới hạn : \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( 1-\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{{{x}^{4}}} \right)=+\infty ; \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\left( 1-\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{{{x}^{4}}} \right)=+\infty \)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(\text{x}=0\text{ },\text{ }{{\text{y}}_{\text{C}}}=-\text{3}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(\text{x}=\pm 1~,\text{ }{{\text{y}}_{\text{CT}}}=-\text{4}\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm cực trị của hàm số trên tập xác định Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!