Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị Toán 12

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

- Tìm \(f'\left( x \right)\)

- Tìm các điểm \({{x}_{i}}\left( i=1,2,3... \right)\) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

- Xét dấu của \(f'\left( x \right)\). Nếu \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi x qua điểm \({{x}_{0}}\) thì hàm số có cực trị tại điểm \({{x}_{0}}\).

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

- Tìm \(f'\left( x \right)\)

- Tìm các nghiệm \({{x}_{i}}\left( i=1,2,3... \right)\) của phương trình \(f'\left( x \right)=0\).

- Với mỗi \({{x}_{i}}\) tính \(f''\left( {{x}_{i}} \right).\)

+ Nếu \(f''\left( {{x}_{i}} \right)<0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \({{x}_{i}}\).

+ Nếu \(f''\left( {{x}_{i}} \right)>0\) thì hàm số đạt cực tiểu  tại điểm \({{x}_{i}}\).

1. Định m để hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+mx+2}{x-1}\) không có cực trị. 2. Cho hàm số: \(y=\left( m-2 \right){{x}^{3}}-mx-2\). Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu.

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\backslash \{1\}=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty  \right)\)

Ta có: \(y'=\frac{{{x}^{2}}-2x-m-2}{{{(x-1)}^{2}}}\)

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi y'=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép , tức phải có: \(\Delta '\le 0\Rightarrow 1+m+2\le 0\Rightarrow m\le -3\)

Vậy, với \(m\le -3\) thì hàm số  không có cực trị.

2. Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \({y}'=3\left( m-2 \right){{x}^{2}}-m\)

Để hàm số không có cực trị thì phương trình \({y}'=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(\Leftrightarrow \Delta \le 0\Leftrightarrow 0+4.3m\left( m-2 \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le m\le 2\)

Bài 1 : 1. Định m để hàm số \(y=(m+2){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx-5\) có cực đại, cực tiểu. 2. Tìm \(m\in \mathbb{R}\) để hàm số: \(y=m{{x}^{4}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+1-2m\) chỉ có một điểm cực trị.

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=3(m+2){{x}^{2}}+6x+m\)

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y'=0 có 2 nghiệm phân biệt , tức phải có:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - 2\\ \Delta ' > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - 2\\ 9 - 3m(m + 2) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - 2\\ - 3{m^2} - 6m + 9 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - 2\\ - 3 < m < 1 \end{array} \right.\)

Vậy, với \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne - 2\\ - 3 < m < 1 \end{array} \right.\) thì hàm số có cực đại, cực tiểu.

2. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có \(y'=4m{{x}^{3}}-2\left( m-1 \right)x\) và \( y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & 2m{{x}^{2}}+m-1=0\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right.\)

Hàm số chỉ có một cực trị  khi phương trình y'=0 có một nghiệm duy nhất và y' đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó .Khi đó phương trình \(2m{{x}^{2}}+m-1=0\,\,\,\,\,\left( * \right)\) vô nghiệm hay có nghiệm kép x=0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \Delta ' = - 2m\left( {m - 1} \right) \le 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m < 0 \vee m \ge 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \le 0\\ m \ge 1 \end{array} \right.\)

Bài 2: Tìm \(m\in \mathbb{R}\) để hàm số \(y=-2x+2+m\sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}\) có cực  đại

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=-2+m\frac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}};\text{ }y''=\frac{m}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)}^{3}}}}\).

+ Nếu m=0 thì \(y=-2<0\mathsf{ }\forall x\in \mathbb{R}\) nên hàm số không có cực trị.

+ \(m\ne 0\) vì dấu của y'' chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại thì trước hết \(y''<0 \Leftrightarrow m<0\). Khi đó hàm số có cực đại ⇒ Phương trình y'=0 có nghiệm \(\left( 1 \right)\).

Cách 1:

Ta có: \(y'=0\Leftrightarrow 2\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+1}=m\left( x-2 \right) \left( 2 \right)\).

Đặt t=x-2 thì \(\left( 2 \right)\) trở thành :

\(mt=2\sqrt{{{t}^{2}}+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t\le 0 \\ & \left( {{m}^{2}}-4 \right){{t}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t\le 0 \\ & {{t}^{2}}=\frac{1}{{{m}^{2}}-4} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left( 1 \right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow m<-2\) (Do m<0).

Vậy m<-2 thì hàm số có cực đại.

Cách 2: Với m<0 hàm số đạt cực đại tại \(x={{x}_{0}}\)

\(\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow \frac{m\left( {{x}_{0}}-2 \right)}{\sqrt{x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+5}}=2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+5}}{{{x}_{0}}-2}=\frac{m}{2}\mathsf{ }\left( 1 \right)\)

Với m<0 thì \(\left( 1 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}<2\).  Xét hàm số : \(f\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{\sqrt{x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+5}}{{{x}_{0}}-2},{{x}_{0}}<2\) 

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+5}}{{{x}_{0}}-2}=-1,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+5}}{{{x}_{0}}-2}=-\infty \)

Ta có \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{-2}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}\sqrt{x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+5}}<0,\forall {{x}_{0}}\in \left( -\infty ;2 \right)\)

Bảng biến thiên :

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \({{x}_{0}}<2\Leftrightarrow \frac{m}{2}<-1\Leftrightarrow m<-2\)

Bài 3: Tìm \(m\in \mathbb{R}\) để hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+mx+2}{x-1}\) có điểm cực tiểu nằm trên Parabol \(\left( P \right):y={{x}^{2}}+x-4\).

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có \(y'=\frac{{{x}^{2}}-2x-m-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}},x\ne 1\). Đặt \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-m-2\).

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình \(g\left( x \right)=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 1 \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta '=1-\left( -m-2 \right)>0 \\ & g\left( 1 \right)=-m-3\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m+3>0 \\ & m\ne -3 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow m>-3\)

\(A\left( 1+\sqrt{m+3};m+2+2\sqrt{m+3} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số .

\(A\in \left( P \right)\Leftrightarrow m+2+2\sqrt{m+3}={{\left( 1+\sqrt{m+3} \right)}^{2}}+1+\sqrt{m+3}-4 \Leftrightarrow m=-2\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị Toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!