I. Phương pháp
1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ thức cho trước.
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.
2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng \({{K}_{1}}=(-\infty ;\alpha )\) hoặc \({{K}_{2}}=(\alpha ;+\infty )\).
\(y'=f(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c\).
Đặt \(t=x-\alpha \), khi đó: \(y'=g(t)=3a{{t}^{2}}+2(3a\alpha +b)t+3a{{\alpha }^{2}}+2b\alpha +c\)
| Hàm số có cực trị thuộc \({{K}_{1}}=(-\infty ;\alpha )\) | Hàm số có cực trị thuộc \({{K}_{2}}=(\alpha ;+\infty )\) |
| Hàm số có cực trị trên khoảng \((-\infty ;\alpha )\) \(\Leftrightarrow f(x)=\,\,0\) có nghiệm trên \((-\infty ;\alpha )\). \(\Leftrightarrow g(t)=\,\,0\) có nghiệm t < 0 \(\Leftrightarrow P<0\) hoặc \(\left\{ \begin{align} & \Delta '\ge 0 \\ & S<0 \\ & P\ge 0 \\ \end{align} \right.\) | Hàm số có cực trị trên khoảng \((\alpha ;+\infty )\) \(\Leftrightarrow f(x)=\,\,0\) có nghiệm trên \((\alpha ;+\infty )\). \(\Leftrightarrow g(t)=\,\,0\) có nghiệm t > 0 \(\Leftrightarrow P<0\) hoặc \(\left\{ \begin{align} & \Delta '\ge 0 \\ & S>0 \\ & P\ge 0 \\ \end{align} \right.\) |
3. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\) thoả:
a) \({{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}\)
b) \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\alpha \)
c) \(\alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\)
\(y'=f(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c\).
Đặt \(t=x-\alpha \), khi đó: \(y'=g(t)=3a{{t}^{2}}+2(3a\alpha +b)t+3a{{\alpha }^{2}}+2b\alpha +c\)
| a) Hàm số có hai cực trị \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\) thoả \({{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}\) \(\Leftrightarrow g(t)=\,\,0\) có hai nghiệm \({{t}_{1}},\,{{t}_{2}}\) thoả \({{t}_{1}}<0<{{t}_{2}} \Leftrightarrow P<0\) |
| b) Hàm số có hai cực trị \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\) thoả \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\alpha \) \(\Leftrightarrow g(t)=\,\,0\) có hai nghiệm \({{t}_{1}},\,{{t}_{2}}\) thoả \({{t}_{1}}<{{t}_{2}}<0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta '>0 \\ & S<0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.\) |
| c) Hàm số có hai cực trị \({{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\) thoả \(\alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\) \(\Leftrightarrow g(t)=\,\,0\) có hai nghiệm \({{t}_{1}},\,{{t}_{2}}\) thoả \(0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta '>0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.\) |
II. Ví dụ minh họa
| Ví dụ 1: Cho hàm số \(y=(m+2){{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx-5\) (m là tham số) có đồ thị là \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right).\) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. |
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)
Ta có: \(y'=3(m+2){{x}^{2}}+6x+m\)
Đồ thị \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương \(y'\text{ = }0\) có 2 nghiệm dương phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = (m + 2) \ne 0\\ \Delta ' = 9 - 3m(m + 2) > 0\\ P = \frac{m}{{3(m + 2)}} > 0\\ S = \frac{{ - 3}}{{m + 2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = - {m^2} - 2m + 3 > 0\\ m < 0\\ m + 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < m < 1\\ m < 0\\ m < - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < m < - 2\)
Vậy, với -3 < m <2
| Ví dụ 2: Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+9x-m\) (m là tham số) có đồ thị là \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right).\) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\) sao cho \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\,\le 2\). |
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)
Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6(m+1)x+9\)
Đồ thị \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có 2 điểm cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};{{x}_{2}} \Leftrightarrow \Delta '={{(m+1)}^{2}}-3>0\Leftrightarrow m>-1+\sqrt{3}\) hoặc \(m<-1-\sqrt{3}\).
Theo định lý Viet ta có \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m+1),\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3.\)
Khi đó: \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\le 2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\le 4\Leftrightarrow 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}-12\le 4\)
\(\Leftrightarrow {{(m+1)}^{2}}\le 4\Leftrightarrow -3\le m\le 1\)
| Ví dụ 3: Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+(1-2m){{x}^{2}}+(2-m)x+m+2\) (m là tham số) có đồ thị là \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right).\) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\)sao cho \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|>\frac{1}{3}\). |
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)
Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+2(1-2m)x+2-m\)
Đồ thị \(\left( {{\text{C}}_{m}} \right)\) có 2 điểm cực đại và cực tiểu \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\({{x}_{1}};{{x}_{2}} \Leftrightarrow \Delta '={{(1-2m)}^{2}}-3(2-m)=4{{m}^{2}}-m-5>0\Leftrightarrow m<-1\) hoặc \(m>\frac{5}{4}\)
Theo định lý Viet ta có \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{2(1-2m)}{3},{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2-m}{3}\)
\(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|>\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}>\frac{1}{9}\)
\(\Leftrightarrow 4{{(1-2m)}^{2}}-4(2-m)>1\Leftrightarrow 16{{m}^{2}}-12m-5>0\Leftrightarrow m>\frac{3+\sqrt{29}}{8}\) hoặc \(m<\frac{3-\sqrt{29}}{8}\)
Vậy, m<-1 hoặc \(m>\frac{3+\sqrt{29}}{8}\) là giá trị cần tìm.
...
III. Bài tập
1. Cho hàm số \(y=4{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-3x\).Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa \({{x}_{1}}=-4{{x}_{2}}\).
2. Tìm các giá trị của để hàm số: \(y=\frac{1}{3}\left( m-1 \right){{x}^{3}}-\frac{m+3}{2}{{x}^{2}}+\left( 3-m \right)x-m+\frac{3}{2}\) có cực trị và số 2 nằm giữa hai điểm cực trị của hàm số.
3. Tìm các giá trị của để hàm số: \(y=-{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}-\left( 3{{m}^{2}}+7m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1\) có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
4. Tìm các giá trị của để hàm số: \(y=m{{x}^{3}}-(2m+1){{x}^{2}}-mx+1\) có điểm cực đại và điểm cực tiểu , đồng thời điểm cực đại của đồ thị hàm số có hoành độ lớn hơn 1.
5. Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+mx-1\), với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) sao cho \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\ge 8\)
6. Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}+({{m}^{2}}-3)x\). Tìm các giá trị của m để hàm số cho có các điểm cực trị \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\) với \({{x}_{1}}>0,\,{{x}_{2}}>0\) và \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{5}{2}\).
7. Cho hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+m\left( x+1 \right)}{x+2}\) có hai cực trị thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-6\left( \frac{1}{x_{1}^{{}}}+\frac{1}{x_{2}^{{}}} \right)\).
8. Tìm tham số m để hàm số: \(y=\frac{{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+2{{m}^{2}}-5m+3}{x}\) đạt cực tiểu tại \(x\in \left( 0;2m \right) ,m>0\).
9. Tìm m để hàm số : \(y=(x-m)({{x}^{2}}-3x-m-1)\) có cực đại và cực tiểu \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thoả \(\left| {{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right|=1\).
10. Tìm m để đồ thị hàm số: \(y=\frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-m}\) có điểm cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| y({{x}_{1}})-y({{x}_{2}}) \right|>8\).
HƯỚNG DẪN GIẢI
1. \({{x}_{1}}=-4{{x}_{2}};\,\,{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{m}{6};\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow m=\pm \frac{9}{2}\)
2. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình: \(\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\left( m+3 \right)x+3-m=0\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)
Đặt \(t=x-2\Rightarrow x=t+2\).
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( 3m-7 \right)t+m-7=0\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) sao cho \({{x}_{1}}<2<{{x}_{2}}\) khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\) thỏa \({t_1} < 0 < {t_2} \Leftrightarrow \frac{{m - 7}}{{m - 1}} < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 7\)
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
