I. Phương pháp
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy.
– Giải điều kiện \({{S}_{\Delta IAB}}=S\).
2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện \({{S}_{\Delta IAB}}=S\).
3. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân hoặc tam giác đều.
– Tìm điều kiện để phương trình \({y}'=0\) có 3 nghiệm phân biệt.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC cân tại A.
– Giải điều kiện: tam giác ABC vuông tại A ⇔ \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\); tam giác ABC đều ⇔ AB=BC
4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S cho trước.
– Tìm điều kiện để phương trình \({y}'=0\) có 3 nghiệm phân biệt.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC cân tại A.
– Kẻ đường cao AH.
– Giải điều kiện: \(S={{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AH.BC\).
| Ví dụ 1 1. Tìm tham số thực m để hàm số: \(y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+m\mathsf{ }\left( 1 \right)\) có 3 cực trị A,B,C sao cho: OA=BC, O là gốc tọa độ , A là cực trị thuộc trục tung, B,C là 2 điểm cực trị còn lại. 2. Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+{{m}^{2}}\,\,\,\left( 1 \right)\) ,với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số \(\left( 1 \right)\) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông 3. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3{{m}^{3}}\left( 1 \right),\,\,m\) là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số \(\left( 1 \right)\) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. |
Lời giải.
1. TXĐ: \(\text{D}=\mathbb{R}\)
\(\text{y }\!\!'\!\!\text{ }=\text{4}{{\text{x}}^{\text{3}}}-\text{4}\left( \text{m}-\text{1} \right)\text{x}\Rightarrow \text{y }\!\!'\!\!\text{ }=\text{0}\Leftrightarrow \text{x}=\text{0}\) hay \({{\text{x}}^{\text{2}}}=\text{m}+\text{1}\)
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y'=0 và đổi dấu 3 lần qua nghiệm x hay \({{\text{x}}^{\text{2}}}=\text{m}+\text{1}\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \(\Leftrightarrow \text{m}+\text{1}>0\) tức \(\text{m}>-\text{1}\).
Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị
\(\text{A}\left( 0;\text{m} \right), \text{B}\left( -\sqrt{m+1};-{{\text{m}}^{\text{2}}}-\text{m}-\text{1} \right), C\left( \sqrt{m+1};-{{\text{m}}^{\text{2}}}-\text{m}-\text{1} \right)\)
Theo bài toán, ta có: \(\text{OA}=\text{BC}\Leftrightarrow {{\text{m}}^{\text{2}}}=\text{4}\left( \text{m}+\text{1} \right)\Leftrightarrow m=2\pm 2\sqrt{2}\) thỏa \(\text{m}>-\text{1}\)
2. TXĐ: \(\text{D}=\mathbb{R}\)
Đạo hàm \(y'=~\text{4}~{{x}^{\text{3}~}}\text{4}\left( m~+~\text{1} \right)x\)
\(y'=0\Leftrightarrow \text{4}{{x}^{3}}\text{4}\left( m+~\text{1} \right)x=~0\Leftrightarrow x=0,{{x}^{2}}=\left( m+1 \right)\)
Hàm số có 3 cực trị điều kiện cần là y'=0 có 3 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(m+1>0\Leftrightarrow m>-1.\)
Khi đó \(y'=4x\left( x-\sqrt{m+1} \right)\left( x+\sqrt{m+1} \right)\) đổi dấu qua các điểm \(x=0,x=-\sqrt{m+1},x=\sqrt{m+1}\) nên hàm số có 3 cực trị tại 3 điểm này.
Với m>-1 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là :
\(A\left( 0;~~{{m}^{\text{2}}} \right)~,B\left( -~\sqrt{m+~\text{1}};~\text{2}m\text{1} \right),~ C\left( \sqrt{m+~\text{1}};\text{2}m\text{1} \right)\)
Cách 1: Nhận xét: \(A\in Oy,\text{B}\) và C đối xứng qua Oy nên tam \(\text{ABC}\) cân tại A tức là \(\text{AB}=\text{AC}\) nên tam giác chỉ có thể vuông cân tại A
Gọi M là trung điểm của \(\text{BC} \Rightarrow M\left( 0;~-\text{2}m\text{1} \right)\)
Do đó để tam giác \(\text{ABC}\) vuông cân \(\Leftrightarrow \text{BC}=\text{2AM}~\) (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) \(\Leftrightarrow \text{2}\sqrt{m+1}=~\text{2}~\left( {{m}^{\text{2}}}~~+~\text{2}m+~\text{1} \right)=~\text{2}~{{\left( m~+~\text{1} \right)}^{\text{2}}}\Leftrightarrow ~\text{1}=~\left( m~+~\text{1} \right)\sqrt{m+1}={{\left( m+\text{1} \right)}^{\frac{3}{2}}}\)
\(\Leftrightarrow \text{1}=~\left( m~+~\text{1} \right)\Leftrightarrow ~m=~0 \left( \text{do}\mathsf{ }m>-\text{1} \right)\)
Cách 2: \(\text{ABC}\) vuông cân.
Ta có: \(A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=\left( m+1 \right)+{{\left( m+1 \right)}^{4}}\) và \(B{{C}^{2}}=4\left( m+1 \right)\).
Theo định lý pitago ta có:
\(2A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{(m+1)}^{4}}=m+1\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m+1=0 \\ & m+1=1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-1 \\ & m=0 \\ \end{align} \right.\)
So với điều kiện m>-1, m cần tìm là m=0.
Cách 3: \(\text{ABC}\) vuông cân \(\Leftrightarrow AB.AC=0 \Leftrightarrow -\left( m+\text{1} \right)+{{\left( -\text{2}m-\text{1}-{{m}^{\text{2}}} \right)}^{\text{2}}}~=0\)
\(\Leftrightarrow {{m}^{\text{4}}}~+\text{4}{{m}^{\text{3}}}~+\text{6}{{m}^{\text{2}}}~+\text{3}m=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=-\text{1}\) (loại)
Cách 4:
Sử dụng góc \(\text{ABC}\) vuông cân \(\Leftrightarrow \cos \widehat{\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right)}={{45}^{0}}\), từ đây tìm được m=0
3. Cách 1:
Ta có: \(\text{y }\!\!'\!\!\text{ }=\text{3}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{6mx}.\) Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi y'=0 có 2 nghiệm phân biệt \(\left( \text{m}\ne 0 \right)\) và đổi dấu qua mỗi nghiệm \(\text{x}=0\) hoặc \(\text{x}=\text{2m}\).
Khi đó hàm số có hai điểm cực trị.\(\text{A}\left( 0;\text{3}{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)\text{,B}\left( \text{2m};-{{\text{m}}^{\text{3}}} \right)\)
Nhận xét: A thuộc \(\text{Oy}\) nên \(OA=\left| {{y}_{A}} \right|=\left| 3{{m}^{3}} \right|,d\left[ B,OA \right]=2\left| m \right|\) và \({{S}_{ABC}}=48 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| 3{{m}^{3}} \right|\left| 2m \right|=48 \Leftrightarrow {{m}^{4}}=16\Leftrightarrow m=\pm 2\) thỏa điều kiện bài toán
Cách 2:
Để hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y'=0 có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm, nghĩa là phải có: \(\Leftrightarrow {{\Delta }_{y'}}>0\Leftrightarrow 36{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0\)
Với \(m\ne 0\) thì hàm số có cực đại \(A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\) và \(B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\).
Trong đó: \(y'\left( {{x}_{1}} \right)=y'\left( {{x}_{2}} \right)=0\) và \({{\text{y}}_{1}}=\text{2}{{\text{m}}^{2}}{{x}_{1}}+3{{m}^{3}}, {{\text{y}}_{2}}=\text{2}{{\text{m}}^{2}}{{x}_{1}}+3{{m}^{3}}\)
\({{\text{S}}_{\Delta \text{OAB}}}=\text{48}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}.\frac{\left| -3{{m}^{3}} \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}=96\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}\left( 1+4{{m}^{4}} \right)}.\frac{\left| -3{{m}^{3}} \right|}{\sqrt{4{{m}^{4}}+1}}=96 \Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}.\left| -3{{m}^{3}} \right|=96\)
Hay \(\sqrt{{{\left( 2m \right)}^{2}}}\left| -3{{m}^{3}} \right|=96\Leftrightarrow {{m}^{4}}=16\Leftrightarrow m=\pm 2\)
| Ví dụ 2. Cho hàm số: \(y=\frac{{{x}^{2}}-2mx+m}{x+m}\mathsf{ }\left( 1 \right)\). Tìm tham số m để đồ thị hàm số \(\left( 1 \right)$ có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu đồng thời: 1. Đường thẳng đi qua hai điểm này tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1; 2. Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O. |
Lời giải.
TXĐ: \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}\)
Hàm số có có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi phương trình \({{x}^{2}}+2mx-2{{m}^{2}}-m=0\) có hai nghiệm phân biệt khác -m tức \(m<-\frac{1}{3}\) hoặc m>0.
1. Phương trình đường thẳng qua hai cực trị là : y=2x-m, theo bài toán ta có: \(A\left( m;0 \right)\) và \(B\left( 0;-2m \right)\). \({{S}_{AOB}}=\frac{1}{2}.OA.OB\Rightarrow \left| m \right|=1\).
2. \(m<-\frac{1}{3}\) hoặc m>0 thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại \(C\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\) và cực tiểu \(D\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\): y=2x-m, khi đó \(C\left( {{x}_{1}};2{{x}_{1}}-m \right)\) và \(D\left( {{x}_{2}};2{{x}_{2}}-m \right)\). Tam giác OCD vuông tại O khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}=0\) tức \(5{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=0\mathsf{ }\left( * \right)\).
Áp dụng định lý vi – ét \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2m; {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2{{m}^{2}}-m\), khi đó \(\left( * \right)\) trở thành \(5m\left( m+1 \right)=0\Leftrightarrow m=-1\) hoặc m=0.
Đối chiếu điều kiện, ta thấy m=-1 thỏa.
...
II. Bài tập
Bài 1.
1. Cho hàm số \(y={{x}^{4}}+(3m+1){{x}^{2}}-3\). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng \(\frac{2}{3}\) lần độ dài cạnh bên.
2. Cho hàm số \(\,y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m-1\mathsf{ }\left( 1 \right)\). Định m để hàm số \(\left( 1 \right)\) có ba cực trị và các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(\left( 1 \right)\) tạo thành một tam giác có chu vi bằng \(4\left( 1+\sqrt{65} \right)\).
3. Cho hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+\left( a+1 \right)x+a-b}{x+1}.\) Tìm giá trị của tham số thực a, b sao cho hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có chu vi bằng \({{\left( 1+\sqrt{5} \right)}^{2}}.\)
Bài 2.
1. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x-{{m}^{3}}+4m-1\). Tìm m để đồ thị của hàm số cho có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O
2. Cho hàm số \(y={{x}^{4}}+2(m-2){{x}^{2}}+{{m}^{2}}-5m+5\). Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu cùng điểm K tạo thành tam giác thỏa mãn tính chất nào đó. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
