Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số

1. Đối với phương trình chứa tham số

Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)

B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng

d: y = g(m).

B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)

B3: Kết luận:   

* phương trình có nghiệm: $\underset{x\in D}{min}f(x,m)\le g\left(m\right)\le \underset{x\in D}{max}f(x,m)$.

* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.

* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) .

2. Đối với bất phương trình chứa tham số

$f\left(x\right)\le g\left(m\right)$ với mọi $x\in D\iff g\left(m\right)\ge \underset{x\in D}{max}f\left(x\right)$

$f\left(x\right)\le g\left(m\right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $g\left(m\right)\ge \underset{x\in D}{min}f\left(x\right)$

$f\left(x\right)\ge g\left(m\right)$ với mọi $x\in D\iff g\left(m\right)\le \underset{x\in D}{min}f\left(x\right)$

$f\left(x\right)\ge g\left(m\right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $g\left(m\right)\le \underset{x\in D}{max}f\left(x\right)$

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

$\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1$ có 2 nghiệm thực phân biệt.

A. $m\le 9$.  

B. $m\ge \frac{9}{2}$.

C. \(-1

D. $m\le 7$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\sqrt{x^2+mx+2}=2x+1\left(1\right)\iff [\begin{array}{l}x\ge -\frac{1}{2}\\ 3x^2+4x-1=mx\left(2\right)\end{array}(\ast )$

Nhận xét:

$x=0$ không phải là nghiệm của (2). Do vậy, ta tiếp tục biến đổi: $(\ast )\iff \{\begin{array}{l}x\ge -\frac{1}{2}\\ \frac{3x^2+4x-1}{x}=m\left(3\right)\end{array}$

Bài toán trở thành tìm m để (3) có 2 nghiệm thực phân biệt:

$x\in [-\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{3x^2+4x-1}{x}$ với $x\in [-\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$. Ta có:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{3x^2+1}{x^2}>0,\mathrm{\forall }x\in [-\frac{1}{2};+\mathrm{\infty })\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$

BBT

Vậy với $m\ge \frac{9}{2}$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt.

Chọn B.

Câu 1: Phương trình ${2017}^{\sin x}=\sin x+\sqrt{2-{\cos }^{2}x}$ có bao nhiêu nghiệm thực trong $[-5\pi ;2017\pi ]$?

A. vô nghiệm.                 

B. $2017$.                   

C. $2022$.                  

D. $2023$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có hàm số $y={2017}^{\sin x}-\sin x-\sqrt{2-{\cos }^{2}x}$ tuần hoàn với chu kỳ $T=2\pi$.

Xét hàm số $y={2017}^{\sin x}-\sin x-\sqrt{2-{\cos }^{2}x}$ trên $[0;2\pi ]$.

Ta có

$y^{\prime }=\cos x{.2017}^{\sin x}.\ln 2017-\cos x-\frac{2\sin x.\cos x}{2\sqrt{2-{\cos }^{2}x}}=\cos x.({2017}^{\sin x}.\ln 2017-1-\frac{\sin x}{\sqrt{1+{\sin }^{2}x}})$

Do vậy trên $[0;2\pi ]$, $y^{\prime }=0\iff \cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}\vee x=\frac{3\pi }{2}$.

$y\left(\frac{\pi }{2}\right)=2017-1-\sqrt{2}>0$; $y\left(\frac{3\pi }{2}\right)=\frac{1}{2017}-1-\sqrt{2}<0$

Bảng biến thiên

Vậy trên $[0;2\pi ]$ phương trình ${2017}^{\sin x}=\sin x+\sqrt{2-{\cos }^{2}x}$ có đúng ba nghiệm phân biệt.

Ta có $y\left(\pi \right)=0$, nên trên $[0;2\pi ]$ phương trình ${2017}^{\sin x}=\sin x+\sqrt{2-{\cos }^{2}x}$ có ba nghiệm phân biệt là $0,\pi ,2\pi$.

Suy ra trên $[-5\pi ;2017\pi ]$ phương trình có đúng $2017-(-5)+1=2023$ nghiệm.

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho phương trình $2\sqrt{x+1}=x+m$ có nghiệm thực?

A. $m\ge 2$.                  

B. $m\le 2$.                 

C. $m\ge 3$.               

D. $m\le 3$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Đặt $t=\sqrt{x+1},t\ge 0$. Phương trình thành: $2t=t^2-1+m\iff m=-t^2+2t+1$

Xét hàm số $f(t)=-t^2+2t+1,t\ge 0;f^{\prime }(t)=-2t+2$

Bảng biến thiên của $f\left(t\right)$:

Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi $m\le 2$.

Câu 5: Phương trình $x^3+x(x+1)=m{(x^2+1)}^2$ có nghiệm thực khi và chỉ khi:

A. $-6\le m\le -\frac{3}{2}$.

B. $-1\le m\le 3$.         

C. $m\ge 3$. 

D. $-\frac{1}{4}\le m\le \frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Sử dụng máy tính bỏ túi.

$x^3+x(x+1)=m{(x^2+1)}^2\iff m{x}^4-x^3+(2m-1)x^2-x+m=0$

Chọn $m=3$ phương trình trở thành $3x^4-x^3+5x^2-x+3=0$ (không có nghiệm thực) nên loại đáp án B, C.

Chọn $m=-6$ phương trình trở thành $-6x^4-x^3-13x^2-x-6=0$ (không có nghiệm thực) nên loại đáp án A.

Kiểm tra với$m=0$ phương trình trở thành $-x^3-x^2-x=0\iff x=0$nên chọn đáp án D.

Tự luận

Ta có $x^3+x(x+1)=m{(x^2+1)}^2\iff m=\frac{x^3+x^2+x}{x^4+2x^2+1}$ (1)

Xét hàm số $y=\frac{x^3+x^2+x}{x^4+2x^2+1}$ xác định trên $\mathbb{R}$.

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }=\frac{{\left(x^3+x^2+x\right)}^{\prime }\left(x^4+2x^2+1\right)-\left(x^3+x^2+x\right){\left(x^4+2x^2+1\right)}^{\prime }}{{\left(x^4+2x^2+1\right)}^2}\\ =\frac{\left(3x^2+2x+1\right)\left(x^4+2x^2+1\right)-\left(x^3+x^2+x\right)\left(4x^3+4x\right)}{{\left(x^4+2x^2+1\right)}^2}\\ =\frac{-x^6-2x^5-x^4+x^2+2x+1}{{\left(x^4+2x^2+1\right)}^2}\\ =\frac{\left(-x^4+1\right)\left(x^2+2x+1\right)}{{\left(x^4+2x^2+1\right)}^2}\end{array}$

$y^{\prime }=0\iff \left(-x^4+1\right)\left(x^2+2x+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}$

BBT

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x^3+x^2+x}{x^4+2x^2+1}$

$\iff \frac{-1}{4}\le m\le \frac{3}{4}$.

Chọn D.

Câu 6: Tìm các giá trị thực của tham số$m$ để phương trình $\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{m+x-x^2}$có hai nghiệm phân biệt.

A. $m\in [5;\frac{23}{4}].$               

B. $m\in [5;6].$    

C. $m\in (5;\frac{23}{4})\cup \left\{6\right\}.$      

D. $m\in [5;\frac{23}{4})\cup \left\{6\right\}.$

Hướng dẫn giải:

+)$\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{m+x-x^2}$(1)

Điều kiện: $-1\le x\le 2$

+)$\left(1\right)\iff 3+2\sqrt{-x^2+x+2}=-x^2+x+m$

Đặt: $-x^2+x=t;$$f\left(x\right)=-x^2+x;f^{\prime }\left(x\right)=-2x+1$

$f(-1)=2,f\left(2\right)=-2,f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\Rightarrow t\in [-2;\frac{1}{4}]$

$\left(1\right)\iff 3+2\sqrt{t+2}=t+m\iff 2\sqrt{t+2}=t+m-3$$\iff m=2\sqrt{t+2}+3-t$

Đặt$f\left(t\right)=2\sqrt{t+2}+3-t$

$f^{\prime }\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{t+2}}-1=\frac{1-\sqrt{t-2}}{\sqrt{t-2}}$.$f^{\prime }\left(t\right)=0\Rightarrow 1-\sqrt{t-2}=0\iff t=-1$

Bảng biến thiên

+) $-x^2+x=t\iff -x^2+x-t=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt$\iff \mathrm{\Delta }=1-4t>0\iff t\le \frac{1}{4}$

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình$(\ast )$ có nghiệm $t\in [-2;\frac{1}{4}]$

Từ bảng biến thiên $\Rightarrow m\in [5;6]$.

Chọn B.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm nghiệm của phương trình mũ Toán 12

• Chuyên đề bất phương trình mũ và lôragit vận dụng cao ôn thi tốt nghiệp THPT

Chúc các em học tập tốt!