Phương pháp tìm GTLN, GTNN trong hình học tọa độ Oxyz

Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách làm:

Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số.

Bài toán 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho các điểm $A(x_A;y_A;z_A),B(x_B;y_B;z_B)$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0.$ Tìm điểm $M\in (P)$ sao cho

1. $MA+MB$ nhỏ nhất.

2. $|MA-MB|$ lớn nhất với $d(A,(P))\ne d(B,(P)).$

Phương pháp:

$\bullet$ Xét vị trí tương đối của các điểm $A,B$ so với mặt phẳng $(P).$

$\bullet$ Nếu $(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A+d)(a{x}_B+b{y}_B+c{z}_B+d)>0$ thì hai điểm $A,B$ cùng phía với mặt phẳng $(P).$

$\bullet$ Nếu $(a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A+d)(a{x}_B+b{y}_B+c{z}_B+d)<0$ thì hai điểm $A,B$ nằm khác phía với mặt phẳng $(P).$

1. $MA+MB$ nhỏ nhất.

$\bullet$ Trường hợp 1:  Hai điểm $A,B$ ở khác phía so với mặt phẳng $(P).$

Vì $A,B$ ở khác phía so với mặt phẳng $(P)$ nên $MA+MB$ nhỏ nhất bằng  khi và chỉ khi $M=(P)\cap AB.$

$\bullet$ Trường hợp 2:  Hai điểm $A,B$ ở cùng phía so với mặt phẳng

Gọi $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(P),$ khi đó $A^{\prime }$ và $B$ ở khác phía $(P)$ và $MA=M{A}^{\prime }$ nên $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B.$

Vậy $MA+MB$ nhỏ nhất bằng $A^{\prime }B$ khi $M=A^{\prime }B\cap (P).$

2. $|MA-MB|$ lớn nhất.

$\bullet$ Trường hợp 1:  Hai điểm $A,B$ ở cùng phía so với mặt phẳng $(P)$.

Vì $A,B$ ở cùng phía so với mặt phẳng $(P)$ nên $|MA-MB|$ lớn nhất bằng  khi và chỉ khi $M=(P)\cap AB.$

$\bullet$ Trường hợp 2:  Hai điểm $A,B$ ở khác phía so với mặt phẳng $(P)$.

Gọi $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(P)$, khi đó $A^{\prime }$ và $B$ ở cùng phía $(P)$ và

$MA=M{A}^{\prime }$ nên $|MA-MB|=|M{A}^{\prime }-MB|\le A^{\prime }B.$

Vậy $|MA-MB|$ lớn nhất bằng $A^{\prime }B$ khi $M=A^{\prime }B\cap (P).$

Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ biết

1. $(P)$ đi qua đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và khoảng cách từ $A\notin \mathrm{\Delta }$ đến $(P)$ lớn nhất

2. $(P)$ đi qua $\mathrm{\Delta }$ và tạo với mặt phẳng $(Q)$ một góc nhỏ nhất

3. $(P)$ đi qua $\mathrm{\Delta }$ và tạo với đường thẳng $d$ một góc lớn nhất.

Phương pháp:

Cách 1: Dùng phương pháp đại số

1. Giả sử đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ và $A(x_0;y_0;z_0)$

Khi đó phương trình $(P)$ có dạng: $A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0$

Trong đó $Aa+Bb+Cc=0\Rightarrow A=-\frac{bB+cC}{a}$  ($a\ne 0$) (1)

Khi đó $d(A,(P))=\frac{|A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ (2)

Thay (1) vào (2) và đặt $t=\frac{B}{C}$, ta đươc $d(A,(P))=\sqrt{f(t)}$

Trong đó $f(t)=\frac{m{t}^2+nt+p}{m^{\prime }{t}^2+n^{\prime }t+p^{\prime }}$, khảo sát hàm $f(t)$ ta tìm được $maxf(t)$. Từ đó suy ra được  sự biểu diễn của $A,B$ qua $C$ rồi cho $C$ giá trị bất kì ta tìm được $A,B$.

2. và 3. làm tương tự

Cách 2: Dùng hình học

1. Gọi $K,H$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $\mathrm{\Delta }$ và $(P)$, khi đó ta có:

$d(A,(P))=AH\le AK$, mà $AK$ không đổi. Do đó $d(A,(P))$ lớn nhất $\iff H\equiv K$

Hay $(P)$ là mặt phẳng đi qua $K$, nhận $\overrightarrow{AK}$ làm VTPT.

2. Nếu $\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }(Q)\Rightarrow \widehat{((P),(Q))}={90}^0$ nên ta xét $\mathrm{\Delta }$ và (Q) không vuông góc với nhau.

$\bullet$ Gọi $B$ là một điểm nào đó thuộc $\mathrm{\Delta }$, dựng đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $(Q)$. Lấy điểm $C$ cố định trên đường thẳng đó. Hạ $CH\mathrm{\perp }(P),CK\mathrm{\perp }d.$ Góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ là $\widehat{BCH}.$ Ta có $\sin \widehat{BCH}=\frac{BH}{BC}\ge \frac{BK}{BC}.$

Mà $\frac{BK}{BC}$ không đổi, nên $\widehat{BCH}$ nhỏ nhất khi $H\equiv K.$

$\bullet$ Mặt phẳng $(P)$ cần tìm là mặt phẳng chứa $\mathrm{\Delta }$ và vuông góc với mặt phẳng $(BCK)$. Suy ra $\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}},[\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{n_Q}]]$ là VTPT của $(P)$.

3. Gọi $M$ là một điểm nào đó thuộc $\mathrm{\Delta }$, dựng đường thẳng $d^{\prime }$ qua $M$ và song song với $d$. Lấy điểm $A$ cố định trên đường thẳng đó. Hạ $AH\mathrm{\perp }(P),AK\mathrm{\perp }d.$ Góc giữa mặt  phẳng $(P)$ và đường thẳng $d^{\prime }$ là $\widehat{AMH}$. Ta có $\cos \widehat{AMH}=\frac{HM}{AM}\ge \frac{KM}{AM}.$

Mà $\frac{KM}{AM}$ không đổi, nên $\widehat{AMH}$ lớn nhất khi $H\equiv K.$

$\bullet$ Mặt phẳng $(P)$ cần tìm là mặt phẳng chứa $\mathrm{\Delta }$ và vuông góc với mặt phẳng $(d^{\prime },\mathrm{\Delta })$. Suy ra $\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}},[\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}},\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}]]$  là VTPT của $(P)$.

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm $A(1;01;1),B(1;2;1),C(4;1;-2)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z=0$. Tìm trên (P) điểm M sao cho $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ

A. $M(1;1;-1)$

B. $M(1;1;1)$       

C. $M(1;2;-1)$  

D. $M(1;0;-1)$

Hướng dẫn giải:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có $G(2;1;0)$, ta có

$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\left(1\right)$

Từ hệ thức (1) ta suy ra:

$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2$ đạt GTNN $\iff MG$ đạt GTNN ⇔ M là hình chiếu vuông góc của G trên (P).

Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+t\\ z=t\end{array}$

Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+t\\ z=t\\ x+y+z=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}t=-1\\ x=1\\ y=0\\ z=-1\end{array}\Rightarrow M\left(1;0;-1\right)$

Chọn D.

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;0;2); B(0;-1;2) và mặt phẳng (P): x + 2y -2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P)) sao cho MA + MB nhỏ nhất?

A. M(2;2;9). 

B. M(1;2;3).

C. $M(-\frac{2}{7};-\frac{1}{5};\frac{18}{5})$.

D. $M(-\frac{2}{5};-\frac{11}{5};\frac{18}{5})$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Thay tọa độ  vào phương trình mặt phẳng , ta được P(A)P(B) > 0 $\Rightarrow$ hai điểm $A,B$ cùng phía với đối với mặt phẳng (P).

Gọi A' là điểm đối xứng của $A$ qua $\left(P\right)$. Ta có

MA + MB = MA' + MB $\ge$ A'B

Nên $min(MA+MB)=A^{\prime }B$ khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của $A^{\prime }B$ với $\left(P\right)$.

Phương trình $A^{\prime }A:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=2-2t\end{array}$ (AA' đi qua A(1;0;2) và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=(1;2;-1)$).

Gọi $H$ là giao điểm của $A{A}^{\prime }$ trên $\left(P\right)$, suy ra tọa độ của $H$ là $H(0;-2;4)$, suy ra $A^{\prime }(-1;-4;6)$, nên phương trình $A^{\prime }B:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+3t\\ z=2-4t\end{array}$.

Vì $M$ là giao điểm của $A^{\prime }B$ với $\left(P\right)$ nên ta tính được tọa độ $M(-\frac{2}{5};-\frac{11}{5};\frac{18}{5})$.

Câu 2: Cho hai điểm $A(-1,3,-2);B(-9,4,9)$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z+1=0.$ Điểm M thuộc (P). Tính GTNN của $AM+BM.$

A. $\sqrt{6}+\sqrt{204}$

B. $\sqrt{6}$

C. $\sqrt{204}$

D. $3\sqrt{26}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $(2.(-1)-3+(-2)+1)(2.(-9)-4+9+1)=72>0$ $=>A,B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng (P).

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Mặt phẳng (P) có vtpt $\overrightarrow{n}(2;-1;1)$

Đường thẳng $AA$ đi qua $A(-1,3,-2)$ có vtcp $\overrightarrow{n}(2;-1;1)$ có pt: $\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3-t\\ z=-2+t\end{array}$

Gọi H là giao của $AA$ và $\left(P\right)$ ta có: $2(-1+2t)-(3-t)+(-2+t)+1=0=>t=1=>H(1,2,-1).$ Ta có H là trung điểm của $AA=>A(3,1,0).$

Đường A’B đi qua A’(3, 1, 0) có vtcp $\overrightarrow{A^{\prime }B}(-12;3;9)$ có pt: $\{\begin{array}{l}x=3-4t\\ y=1+t\\ z=3t\end{array}$

Gọi N là giao điểm của A’B và mặt phẳng $\left(P\right)$ta có:

$2.(3-4t)(1+t)+3t+1=0=>t=1=>N(-1,2,3).$

Để $MA+MB$ nhỏ nhất thì  khi đó $MA+MB=AB$ = $3\sqrt{26}$

Chọn D.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+y+z-1=0 và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2). M là một điểm trên mặt phẳng (P). Giá trị lớn nhất của T = |MA - MB| là:

A. T = $2\sqrt{5}$

B. T = $2\sqrt{6}$

C. T = $2\sqrt{3}$         

D. T = $\sqrt{5}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: A, B nằm khác phía so với (P). Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P). Suy ra B'(-1;-3;4).

T = |MA - MB| = |MA - MB'| $\le$ AB' = $2\sqrt{5}$

Đẳng thức xảy ra khi $M,A,B$ thẳng hàng.

Chọn A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm GTLN, GTNN trong hình học tọa độ Oxyz. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tìm GTLN và GTNN của hàm hợp trên đoạn Toán 12

• Chuyên đề đường thẳng trong không gian Oxyz

Chúc các em học tập tốt!