Chuyên đề tỉ lệ thể tích của các khối đa diện toán 12

1. Hai khối chóp \(S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\) và \(S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{m}}\)có chung đỉnh \(S\) và hai mặt đáy cùng nằm trên một mặt phẳng, ta có: \(\frac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{m}}}}}=\frac{{{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}}{{{S}_{{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{m}}}}}\)

2. Hai khối chóp tam giác \(S.ABC\) có \({A}'\in SA,{B}'\in SB,C'\in SC\) ta có: \(\frac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{v}_{S.ABC}}}=\frac{S{A}'}{SA}.\frac{S{B}'}{SB}.\frac{S{C}'}{SC}\)

3. Kiến thức cần nhớ đối với khối lăng trụ tam giác và khối hộp.

• \({{V}_{{A}'.ABC}}=\frac{V}{3}\), \({{V}_{{A}'.BC{C}'{B}'}}=\frac{2V}{3}\).

• \({{V}_{{A}'.ABD}}=\frac{V}{6}\), \({{V}_{BD{A}'{C}'}}=\frac{V}{3}\).

4. Một số công thức nhanh cho các trường hợp hay gặp

• Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) có \(\frac{BH}{BC}={{\left( \frac{AB}{BC} \right)}^{2}},\) \(\frac{CH}{CB}={{\left( \frac{AC}{BC} \right)}^{2}}.\)

• Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với mặt đáy của khối chóp \(S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\) cắt \(S{{A}_{k}}\) tại điểm \({{M}_{k}}\) thỏa mãn \(\frac{S{{M}_{k}}}{S{{A}_{k}}}=p,\) ta có \(\frac{{{V}_{S.{{M}_{1}}{{M}_{2}}...{{M}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}}}}={{p}^{3}}.\)

• Hình lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(\frac{AM}{A{A}'}=x,\frac{BN}{B{B}'}=y,\frac{CP}{C{C}'}=z\) có \({{V}_{ABC.MNP}}=\frac{x+y+z}{3}V.\)

• Hình hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(\frac{AM}{A{A}'}=x,\frac{BN}{B{B}'}=y,\frac{CP}{C{C}'}=z\). Mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) cắt \(DD'\) tại \(Q\) thì ta có đẳng thức \(x+z=y+t\) với \(t=\frac{DQ}{D{D}'}\) và \({{V}_{ABCD.MNPQ}}=\frac{x+y+z+t}{4}V.\)

• Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(\frac{SM}{SA}=x,\frac{SN}{SB}=y,\frac{SP}{SC}=z\). Mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) cắt \(SD\) tại \(Q\) thì ta có đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\) với \(t=\frac{SQ}{SD}\) và \({{V}_{S.MNPQ}}=\frac{1}{4}xyzt\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right)V\).

• Định lí Meneleus cho 3 điểm thẳng hàng \(\frac{MA}{MB}.\frac{NB}{NC}.\frac{PC}{PA}=1\) với \(MNP\)là một đường thẳng cắt ba đường thẳng \(AB,BC,CA\) lần lượt tại \(M,N,P.\)

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên hợp với đáy một góc \(60{}^\circ \). Gọi \(M\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(D\), \(N\) là trung điểm \(SC.\) Mặt phẳng \(\left( BMN \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

A. \(\frac{7}{5}\).           

B. \(\frac{1}{7}\).         

C. \(\frac{7}{3}\).        

D. \(\frac{6}{5}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Giả sử các điểm như hình vẽ.

\(E=SD\cap MN\Rightarrow E\) là trọng tâm tam giác \(SCM\), \(DF\ \text{//}\ BC\Rightarrow F\) là trung điểm \(BM\).

Ta có:

\(\begin{align} & \left( \widehat{SD,\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SDO}=60{}^\circ \\ & \Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{6}}{2} \\ \end{align}\), \(SF=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{F}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left( O,\left( SAD \right) \right)=OH=h=\frac{a\sqrt{6}}{2\sqrt{7}};{{S}_{SAD}}=\frac{1}{2}SF.AD=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{7}}{4}\)

\(\frac{{{V}_{MEFD}}}{{{V}_{MNBC}}}=\frac{ME}{MN}\cdot \frac{MF}{MB}\cdot \frac{MD}{MC}=\frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow {{V}_{BFDCNE}}=\frac{5}{6}{{V}_{MNBC}}=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{3}\cdot d\left( M,\left( SAD \right) \right)\cdot \frac{1}{2}{{S}_{SBC}}=\frac{5}{18}\cdot 4h\cdot \frac{1}{2}{{S}_{SAD}}=\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{6}}{72}\)

\({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\Rightarrow {{V}_{SABFEN}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{BFDCNE}}=\frac{7{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}\cdot \)

Suy ra: \(\frac{{{V}_{SABFEN}}}{{{V}_{BFDCNE}}}=\frac{7}{5}\cdot \)

Câu 1: Cho hình chóp\(S.ABC\).Trên cạnh \(SA\) lấy các điểm \(M,N\) sao cho\(SM=MN=NA\).Gọi \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)\) là các mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và lần lượt đi qua\(M,N\). Khi đó hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)\) chia khối chóp đã cho thành 3 phần.Nếu phần trên cùng có thể tích là \(10\,d{{m}^{3}}\)tích hai phần còn lại lần lượt là?

A. \(80\,d{{m}^{3}}\) và \(190\,d{{m}^{3}}\). 

B. \(70\,d{{m}^{3}}\) và \(190\,d{{m}^{3}}\).

C. \(70\,d{{m}^{3}}\) và \(200\,d{{m}^{3}}\).

D. \(80\,d{{m}^{3}}\) và \(180\,d{{m}^{3}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt \(V={{V}_{S.ABC}}\,,\,{{V}_{1}}={{S}_{S.MNP}}\) ta có:

\({{V}_{1}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SP}{SB}.\frac{SQ}{SC}.V={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}V=\frac{1}{27}V\) \(\Rightarrow V=270\,d{{m}^{3}}\).

Tương tự ta có :

\({{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{SN}{SA}.\frac{SE}{SB}.\frac{SF}{SC}.V={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}V=\frac{8}{27}V=80\,d{{m}^{3}}\).

Do đó:\({{V}_{2}}=80-{{V}_{1}}=70\,d{{m}^{3}}\),\({{V}_{3}}=V-{{V}_{1}}-{{V}_{2}}=190\,d{{m}^{3}}\).

Chọn B.

Câu 2: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là các điểm trên các cạnh \(SA,SB,SC\) sao cho \(\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2},\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3},\frac{SP}{SC}=\frac{1}{3}\). Mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) cắt cạnh \(SD\) tại điểm \(Q\). Tính thể tích khối đa diện \(ABCD.MNPQ\).

A. \(\frac{5}{63}V\).      

B. \(\frac{10}{63}V\).  

C. \(\frac{53}{63}V\). 

D. \(\frac{58}{63}V\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Đặt \(x=\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2}\), \(y=\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}\), \(z=\frac{SP}{SC}=\frac{1}{3}\), \(t=\frac{SQ}{SD}\).

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\Rightarrow 2+3=\frac{3}{2}+\frac{1}{t}\Leftrightarrow t=\frac{2}{7}\).

Do đó \({{V}_{S.MNPQ}}={{V}_{S.MNP}}+{{V}_{S.PQM}}=xyz.\frac{1}{2}V+zxt.\frac{1}{2}V=\frac{1}{2}xz\left( y+t \right)V=\frac{5}{63}V\).

Suy ra \({{V}_{ABCD.MNPQ}}=\left( 1-\frac{5}{63} \right)V=\frac{58}{63}V\).

Câu 3: Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB=\sqrt{3}a\), \(AD=a\), \(SA\) vuông góc với đáy và

\(SA=a\). Mặt phẳng \(\left( \alpha\right)\) qua \(A\) vuông góc với \(SC\) cắt \(SB\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \(M\), \(N\), \(P\). Tính thể tích khối chóp \(S.AMNP\).

A. \(\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{40}\).                   

B. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{40}\).    

C. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{10}\).

D. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{30}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có \(SC\bot \left( \alpha  \right)\Rightarrow SC\bot AM,SC\bot AN,SC\bot AP\).

Mặt khác \(CB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow AM\bot CB\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot SB\). Tương tự ta có \(AP\bot SD\).

Thể tích khối chóp ban đầu là \(V=\frac{1}{3}\sqrt{3}{{a}^{2}}.a=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}\).

Tính các tỉ số \(x=\frac{SA}{SA}=1\), \(y=\frac{SM}{SB}={{\left( \frac{SA}{SB} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=\frac{1}{4}\),

\(z=\frac{SN}{SC}={{\left( \frac{SA}{SC} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{5}\), \(t=\frac{SP}{SD}={{\left( \frac{SA}{SD} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}\).

Vậy \({V}'=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right)V=\frac{3}{40}V=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{40}\).

Câu 4: Cho khối chóp \(S.ABCD\) có thể tích \(V\) và đáy là hình bình hành. Điểm \({S}'\) thỏa mãn \(\overrightarrow{S{S}'}=k\overrightarrow{DC}\,\left( k>0 \right)\). Biết thể tích phần chung của hai khối chóp \(S.ABCD\)và \({S}'.ABCD\) là \(\frac{7}{25}V\). Tìm \(k\).

A. \(k=9\).                      

B. \(k=6\).                    

C. \(k=11\).                  

D. \(k=4\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có \(AB\)//\(CD\)//\(S{S}'\) nên \({B}'={S}'A\cap SB,{C}'={S}'D\cap SC\).

Theo Thales ta cũng có

\(\frac{{B}'S}{{B}'B}=\frac{{C}'S}{{C}'C}=\frac{{S}'S}{DC}=k\Rightarrow \frac{S{B}'}{SB}=\frac{S{C}'}{SC}=\frac{k}{k+1},t=\frac{SD}{SD}=1\).

Do đó \({{V}_{S.AD{C}'{B}'}}=\frac{1}{4}.1.1.\frac{k}{k+1}.\frac{k}{k+1}\left( \frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{\frac{k}{k+1}}+\frac{1}{\frac{k}{k+1}} \right)V=\frac{{{k}^{2}}\left( 2k+1 \right)}{2k{{\left( k+1 \right)}^{2}}}V\).

Vậy thể tích phần chung là \({V}'=V-{{V}_{S.AD{C}'{B}'}}=\left( 1-\frac{{{k}^{2}}\left( 2k+1 \right)}{2k{{\left( k+1 \right)}^{2}}} \right)V=\frac{7}{25}V\Leftrightarrow k=4\,\left( k>0 \right)\).

Câu 5: Cho hình chóp \(S.ABC\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với mặt đáy \(\left( ABC \right)\) cắt các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\) lần lượt tại \(M\), \(N\), \(P\). Tính diện tích tam giác \(MNP\) biết \(\left( P \right)\) chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.

A. \({{S}_{\Delta MNP}}=\frac{{{a}^{2}}.\sqrt{3}}{8}\).                        

B. \({{S}_{\Delta MNP}}=\frac{{{a}^{3}}.\sqrt{3}}{16}\).            

C. \({{S}_{\Delta MNP}}=\frac{{{a}^{2}}.\sqrt{3}}{4\sqrt[3]{2}}\)                                    

D. \({{S}_{\Delta MNP}}=\frac{{{a}^{2}}.\sqrt{3}}{4\sqrt[3]{4}}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

\(\frac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}={{\left( \frac{SM}{SA} \right)}^{3}}\text{  }\left( 1 \right)\)

Theo bài ra: \(\frac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{1}{2}\text{   }\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) ta có \({{\left( \frac{SM}{SA} \right)}^{3}}=\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow \frac{SM}{SA}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

Lại có: \(\frac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{\frac{1}{3}d\left( S,\left( MNP \right) \right).{{S}_{\Delta MNP}}}{\frac{1}{3}d\left( S,\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}}\text{=}\frac{1}{2}\text{  }\left( 3 \right)\)

Mà \(\frac{d\left( S,\left( MNP \right) \right)}{d\left( S,\left( ABC \right) \right)}\text{=}\frac{SM}{SA}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\text{   }\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\), \(\left( 4 \right)\) ta có được \(\frac{{{S}_{\Delta MNP}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}\text{=}\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\)\(\Rightarrow {{S}_{\Delta MNP}}\text{=}\frac{\sqrt[3]{2}}{2}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}.\frac{{{a}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}.\sqrt{3}}{4.\sqrt[3]{4}}\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tỉ lệ thể tích của các khối đa diện toán 12​​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tính tỉ số thể tích hình chóp Toán 12

• Lý thuyết và bài tập về tính thể tích hình chóp Toán 12

Chúc các em học tốt!