Chuyên đề tỉ lệ thể tích của các khối đa diện toán 12

I. LÝ THUYẾT CHUNG

1. Hai khối chóp $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ và $S . B_{1} B_{2} . . . B_{m}$ có chung đỉnh $S$ và hai mặt đáy cùng nằm trên một mặt phẳng, ta có: $\frac{V_{S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}}}{V_{S . B_{1} B_{2} . . . B_{m}}} = \frac{S_{A_{1} A_{2} . . . A_{n}}}{S_{B_{1} B_{2} . . . B_{m}}}$

2. Hai khối chóp tam giác $S . A B C$ có $A^{'} \in S A, B^{'} \in S B, C^{'} \in S C$ ta có: $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{v_{S . A B C}} = \frac{S A^{'}}{S A} . \frac{S B^{'}}{S B} . \frac{S C^{'}}{S C}$

3. Kiến thức cần nhớ đối với khối lăng trụ tam giác và khối hộp.

$V_{A^{'} . A B C} = \frac{V}{3}$ , $V_{A^{'} . B C C^{'} B^{'}} = \frac{2 V}{3}$ .
$V_{A^{'} . A B D} = \frac{V}{6}$ , $V_{B D A^{'} C^{'}} = \frac{V}{3}$ .

4. Một số công thức nhanh cho các trường hợp hay gặp

Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có đường cao $A H$ có $\frac{B H}{B C} = {(\frac{A B}{B C})}^{2},$ $\frac{C H}{C B} = {(\frac{A C}{B C})}^{2} .$
Mặt phẳng $(α)$ song song với mặt đáy của khối chóp $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ cắt $S A_{k}$ tại điểm $M_{k}$ thỏa mãn $\frac{S M_{k}}{S A_{k}} = p,$ ta có $\frac{V_{S . M_{1} M_{2} . . . M_{n}}}{V_{S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}}} = p^{3} .$
Hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $\frac{A M}{A A^{'}} = x, \frac{B N}{B B^{'}} = y, \frac{C P}{C C^{'}} = z$ có $V_{A B C . M N P} = \frac{x + y + z}{3} V .$
Hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $\frac{A M}{A A^{'}} = x, \frac{B N}{B B^{'}} = y, \frac{C P}{C C^{'}} = z$ . Mặt phẳng $(M N P)$ cắt $D D^{'}$ tại $Q$ thì ta có đẳng thức $x + z = y + t$ với $t = \frac{D Q}{D D^{'}}$ và $V_{A B C D . M N P Q} = \frac{x + y + z + t}{4} V .$
Hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành và $\frac{S M}{S A} = x, \frac{S N}{S B} = y, \frac{S P}{S C} = z$ . Mặt phẳng $(M N P)$ cắt $S D$ tại $Q$ thì ta có đẳng thức $\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{t}$ với $t = \frac{S Q}{S D}$ và $V_{S . M N P Q} = \frac{1}{4} x y z t (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t}) V$ .
Định lí Meneleus cho 3 điểm thẳng hàng $\frac{M A}{M B} . \frac{N B}{N C} . \frac{P C}{P A} = 1$ với $M N P$ là một đường thẳng cắt ba đường thẳng $A B, B C, C A$ lần lượt tại $M, N, P .$

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng $a$ , cạnh bên hợp với đáy một góc $60^{\circ}$ . Gọi $M$ là điểm đối xứng của $C$ qua $D$ , $N$ là trung điểm $S C .$ Mặt phẳng $(B M N)$ chia khối chóp $S . A B C D$ thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

A. $\frac{7}{5}$ .

B. $\frac{1}{7}$ .

C. $\frac{7}{3}$ .

D. $\frac{6}{5}$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Giả sử các điểm như hình vẽ.

$E = S D \cap M N \Rightarrow E$ là trọng tâm tam giác $S C M$ , $D F // B C \Rightarrow F$ là trung điểm $B M$ .

Ta có:

$\begin{aligned} (\hat{S D, (A B C D)}) = \hat{S D O} = 60^{\circ} \\ \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{6}}{2} \end{aligned}$ , $S F = \sqrt{S O^{2} + O F^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{2}$

$\Rightarrow d (O, (S A D)) = O H = h = \frac{a \sqrt{6}}{2 \sqrt{7}}; S_{S A D} = \frac{1}{2} S F . A D = \frac{a^{2} \sqrt{7}}{4}$

$\frac{V_{M E F D}}{V_{M N B C}} = \frac{M E}{M N} \cdot \frac{M F}{M B} \cdot \frac{M D}{M C} = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow V_{B F D C N E} = \frac{5}{6} V_{M N B C} = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot d (M, (S A D)) \cdot \frac{1}{2} S_{S B C} = \frac{5}{18} \cdot 4 h \cdot \frac{1}{2} S_{S A D} = \frac{5 a^{3} \sqrt{6}}{72}$

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} \Rightarrow V_{S A B F E N} = V_{S . A B C D} - V_{B F D C N E} = \frac{7 a^{3} \sqrt{6}}{36} \cdot$

Suy ra: $\frac{V_{S A B F E N}}{V_{B F D C N E}} = \frac{7}{5} \cdot$

II. BÀI TẬP

Câu 1: Cho hình chóp $S . A B C$ .Trên cạnh $S A$ lấy các điểm $M, N$ sao cho $S M = M N = N A$ .Gọi $(α), (β)$ là các mặt phẳng song song với mặt phẳng $(A B C)$ và lần lượt đi qua $M, N$ . Khi đó hai mặt phẳng $(α), (β)$ chia khối chóp đã cho thành 3 phần.Nếu phần trên cùng có thể tích là $10 d m^{3}$ tích hai phần còn lại lần lượt là?

A. $80 d m^{3}$ và $190 d m^{3}$ .

B. $70 d m^{3}$ và $190 d m^{3}$ .

C. $70 d m^{3}$ và $200 d m^{3}$ .

D. $80 d m^{3}$ và $180 d m^{3}$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt $V = V_{S . A B C}, V_{1} = S_{S . M N P}$ ta có:

$V_{1} = \frac{S M}{S A} . \frac{S P}{S B} . \frac{S Q}{S C} . V = {(\frac{1}{3})}^{3} V = \frac{1}{27} V$ $\Rightarrow V = 270 d m^{3}$ .

Tương tự ta có :

$V_{1} + V_{2} = \frac{S N}{S A} . \frac{S E}{S B} . \frac{S F}{S C} . V = {(\frac{2}{3})}^{3} V = \frac{8}{27} V = 80 d m^{3}$ .

Do đó: $V_{2} = 80 - V_{1} = 70 d m^{3}$ , $V_{3} = V - V_{1} - V_{2} = 190 d m^{3}$ .

Chọn B.

Câu 2: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành và có thể tích bằng $V$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $S A, S B, S C$ sao cho $\frac{S M}{S A} = \frac{1}{2}, \frac{S N}{S B} = \frac{2}{3}, \frac{S P}{S C} = \frac{1}{3}$ . Mặt phẳng $(M N P)$ cắt cạnh $S D$ tại điểm $Q$ . Tính thể tích khối đa diện $A B C D . M N P Q$ .

A. $\frac{5}{63} V$ .

B. $\frac{10}{63} V$ .

C. $\frac{53}{63} V$ .

D. $\frac{58}{63} V$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Đặt $x = \frac{S M}{S A} = \frac{1}{2}$ , $y = \frac{S N}{S B} = \frac{2}{3}$ , $z = \frac{S P}{S C} = \frac{1}{3}$ , $t = \frac{S Q}{S D}$ .

Ta có $\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{t} \Rightarrow 2 + 3 = \frac{3}{2} + \frac{1}{t} \Leftrightarrow t = \frac{2}{7}$ .

Do đó $V_{S . M N P Q} = V_{S . M N P} + V_{S . P Q M} = x y z . \frac{1}{2} V + z x t . \frac{1}{2} V = \frac{1}{2} x z (y + t) V = \frac{5}{63} V$ .

Suy ra $V_{A B C D . M N P Q} = (1 - \frac{5}{63}) V = \frac{58}{63} V$ .

Câu 3: Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy là hình chữ nhật, $A B = \sqrt{3} a$ , $A D = a$ , $S A$ vuông góc với đáy và

$S A = a$ . Mặt phẳng $(α)$ qua $A$ vuông góc với $S C$ cắt $S B$ , $S C$ , $S D$ lần lượt tại $M$ , $N$ , $P$ . Tính thể tích khối chóp $S . A M N P$ .

A. $\frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{40}$ .

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{40}$ .

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{10}$ .

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{30}$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có $S C ⊥ (α) \Rightarrow S C ⊥ A M, S C ⊥ A N, S C ⊥ A P$ .

Mặt khác $C B ⊥ (S A B) \Rightarrow A M ⊥ C B \Rightarrow A M ⊥ (S B C) \Rightarrow A M ⊥ S B$ . Tương tự ta có $A P ⊥ S D$ .

Thể tích khối chóp ban đầu là $V = \frac{1}{3} \sqrt{3} a^{2} . a = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{3}$ .

Tính các tỉ số $x = \frac{S A}{S A} = 1$ , $y = \frac{S M}{S B} = {(\frac{S A}{S B})}^{2} = \frac{a^{2}}{a^{2} + 3 a^{2}} = \frac{1}{4}$ ,

$z = \frac{S N}{S C} = {(\frac{S A}{S C})}^{2} = \frac{a^{2}}{a^{2} + 3 a^{2} + a^{2}} = \frac{1}{5}$ , $t = \frac{S P}{S D} = {(\frac{S A}{S D})}^{2} = \frac{a^{2}}{a^{2} + a^{2}} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $V^{'} = \frac{x y z t}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t}) V = \frac{3}{40} V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{40}$ .

Câu 4: Cho khối chóp $S . A B C D$ có thể tích $V$ và đáy là hình bình hành. Điểm $S^{'}$ thỏa mãn $\vec{S S^{'}} = k \vec{D C} (k > 0)$ . Biết thể tích phần chung của hai khối chóp $S . A B C D$ và $S^{'} . A B C D$ là $\frac{7}{25} V$ . Tìm $k$ .

A. $k = 9$ .

B. $k = 6$ .

C. $k = 11$ .

D. $k = 4$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có $A B$ // $C D$ // $S S^{'}$ nên $B^{'} = S^{'} A \cap S B, C^{'} = S^{'} D \cap S C$ .

Theo Thales ta cũng có

$\frac{B^{'} S}{B^{'} B} = \frac{C^{'} S}{C^{'} C} = \frac{S^{'} S}{D C} = k \Rightarrow \frac{S B^{'}}{S B} = \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{k}{k + 1}, t = \frac{S D}{S D} = 1$ .

Do đó $V_{S . A D C^{'} B^{'}} = \frac{1}{4} .1 .1 . \frac{k}{k + 1} . \frac{k}{k + 1} (\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{\frac{k}{k + 1}} + \frac{1}{\frac{k}{k + 1}}) V = \frac{k^{2} (2 k + 1)}{2 k {(k + 1)}^{2}} V$ .

Vậy thể tích phần chung là $V^{'} = V - V_{S . A D C^{'} B^{'}} = (1 - \frac{k^{2} (2 k + 1)}{2 k {(k + 1)}^{2}}) V = \frac{7}{25} V \Leftrightarrow k = 4 (k > 0)$ .

Câu 5: Cho hình chóp $S . A B C$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Một mặt phẳng $(P)$ song song với mặt đáy $(A B C)$ cắt các cạnh $S A$ , $S B$ , $S C$ lần lượt tại $M$ , $N$ , $P$ . Tính diện tích tam giác $M N P$ biết $(P)$ chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.

A. $S_{Δ M N P} = \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{8}$ .

B. $S_{Δ M N P} = \frac{a^{3} . \sqrt{3}}{16}$ .

C. $S_{Δ M N P} = \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{2}}$

D. $S_{Δ M N P} = \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{4}}$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

$\frac{V_{S . M N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S P}{S C} = {(\frac{S M}{S A})}^{3} (1)$

Theo bài ra: $\frac{V_{S . M N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{1}{2} (2)$

Từ $(1)$ , $(2)$ ta có ${(\frac{S M}{S A})}^{3} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{S M}{S A} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Lại có: $\frac{V_{S . M N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{\frac{1}{3} d (S, (M N P)) . S_{Δ M N P}}{\frac{1}{3} d (S, (A B C)) . S_{Δ A B C}} = \frac{1}{2} (3)$

Mà $\frac{d (S, (M N P))}{d (S, (A B C))} = \frac{S M}{S A} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (4)$

Từ $(3)$ , $(4)$ ta có được $\frac{S_{Δ M N P}}{S_{Δ A B C}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ $\Rightarrow S_{Δ M N P} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} . \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{4. \sqrt[3]{4}}$

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tỉ lệ thể tích của các khối đa diện toán 12. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

Chúc các em học tốt!

Chuyên đề tỉ lệ thể tích của các khối đa diện toán 12

I. LÝ THUYẾT CHUNG

II. BÀI TẬP

Hồng Phong

Bình luận

Bài viết đọc nhiều

Bài viết cũ mà hay

Có Thể Bạn Quan Tâm ?

Chuyên đề tỉ lệ thể tích của các khối đa diện toán 12

I. LÝ THUYẾT CHUNG

II. BÀI TẬP

Hồng Phong

Bộ câu hỏi rèn luyện ôn tập hè Chuyên đề Dòng điện xoay chiều môn Vật lý 12 năm 2021

Lý thuyết ôn tập Thế mạnh nguồn lao động nước ta Địa lý 12

Tham khảo thêm

Bình luận

Bài viết đọc nhiều

Bài viết cũ mà hay

Có Thể Bạn Quan Tâm ?