Đề thi HSG môn Toán 11 năm học 2019 - 2020 có đáp án Trường THPT Nguyễn Duy Trinh

Câu 1 (7,0 điểm). Giải các phương trình sau:

a. \({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} + 2{\sin ^2}\frac{x}{2} = \sin x\left( {2\sqrt 3 \sin x + 4 - \sqrt 3 } \right)\)

b. \(\sqrt {x + 4}  + \sqrt {3 - x}  + \sqrt {12 - x - {x^2}}  = x - 1 + \sqrt {2x + 5} \)

Câu 2 (7,0 điểm).

a. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần.

b. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3 = 2\sqrt {\left( {3y - x} \right)\left( {y + 1} \right)} \\
\sqrt {3y - 2}  - \sqrt {\frac{{x + 5}}{2}}  = xy - 2y - 2
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x,y \in R)\)

Câu 3 (4,0 điểm).

a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có phân giác trong AD với \(D(\frac{7}{2}; - \frac{7}{2})\) thuộc BC. Gọi E và F lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = AF. Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết \(E(\frac{3}{2}; - \frac{5}{2})\), F có hoành độ nhỏ hơn 3 và phương trình đường thẳng AK là \(x - 2y - 3 = 0\).Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

b. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y = 0 và đường tròn \(\left( T \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\). Từ điểm  M thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (d là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD đến đường tròn (T) với C nằm giữa M và D; AB cắt CD tại N. Tìm tọa độ điểm M biết rằng CD = 1 và \(ND = \frac{5}{9}\).

Câu 4 (2,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y +z = 3. Chứng minh rằng: 

\(\frac{{x\left( {y + z} \right)}}{{4 - yz}} + \frac{{y\left( {z + x} \right)}}{{4 - zx}} + \frac{{z\left( {x + y} \right)}}{{4 - xy}} \ge 2xyz\)

----- HẾT -----

{-- xem tiếp nội dung Đề thi HSG môn Toán 11 năm học 2019 - 2020 có đáp án Trường THPT Nguyễn Duy Trinh ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Đề thi HSG môn Toán 11 năm học 2019 - 2020 có đáp án Trường THPT Nguyễn Duy Trinh. Để xem toàn bộ nội dung và đáp án câu hỏi các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính. 

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em trong học sinh lớp 12 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong bài thi sắp tới.