Chuyên đề phép dời hình trong không gian và hai hình bằng nhau

• Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

• Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

Nhận xét:

• Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

• Phép dời hình biến một đa diện thành $\left(H\right)$ một đa diện $\left(H^{\prime }\right)$, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện $\left(H\right)$ thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện $\left(H^{\prime }\right)$.

a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector $\overrightarrow{v}$  là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}$ .

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mọi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).

d) Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d.

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Nhận xét

• Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia.

• Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

Ví dụ: Trong không gian cho hai hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ vuông góc với nhau. Với mỗi điểm M ta gọi $M_1$ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm $D_{\alpha }$, $M_2$ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm $D_{\beta }$. Khi đó hợp thành của $D_{\alpha }o{D}_{\beta }$ biến điểm M thành điểm $M_2$ là

A. Phép tịnh tiến     

B. Phép đối xứng qua mặt phẳng

C. Phép đối xứng tâm 

D. Phép đối xứng trục

Hướng dẫn giải:

Gọi I, J, O lần lượt là trung điểm của $M{M}_1,M_1{M}_2,M{M}_2$ ( với $M{M}_1\mathrm{\perp }\left(\alpha \right)$ và $I\in \left(\alpha \right),M_1{M}_2\mathrm{\perp }\left(\beta \right)$ và $J\in \left(\beta \right)$)

Ta có: $IO//M_1{M}_2$ nên $IO\mathrm{\perp }\left(\beta \right)$, do đó nếu gọi a là giao tuyến của $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ thì $IO\mathrm{\perp }a$ và $O\in a$. Suy ra hai điểm M và $M_2$ đối xứng nhau qua đường thẳng a.

Vậy hợp thành của $D_{\alpha }o{D}_{\beta }$ biến điểm M thành điểm $M_2$ là phép đối xứng qua đường thẳng a.

Câu 1: Trong không gian cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Không có phép tịnh tiến nào biến (P) thành (Q)

B. Có duy nhất một phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

C. Có đúng hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

D. Có vô số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q)

Chọn đáp án D.

Câu 2 : Trong không gian cho hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau ($AB=A^{\prime }{B}^{\prime };AC=A^{\prime }{C}^{\prime };BC=B^{\prime }{C}^{\prime }$ ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Không thể thực hiện một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia

B. Tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia

C. Có nhiều nhất hai phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia

D. Có thể thực hiện vô số phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia.

Hướng dẫn giải:

Trước hết ta nhận thấy rằng, muốn thực hiện được một phép tịnh tiến biến $\mathrm{\Delta }ABC$ thành $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ thì phải có điều kiện, hai tam giác ABC và A’B’C’ ơhair nằm trên hai mặt phẳng song song (hoặc trùng nhau) và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}.$

Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\prime }A}$ biến $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ thành$\mathrm{\Delta }ABC$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{A^{\prime }A}$ biến $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ thành $\mathrm{\Delta }ABC$. Như vậy chỉ có hai phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia.

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ biến tam giác $A^{\prime }IJ$ thành tam giác

A. C’CD 

B. CD’P với P là trung điểm của B’C’

C. KDC với K là trung điểm của A’D’             

D. DC’D’

Hướng dẫn giải:

Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Ta có

$T\left(I\right)=D,T\left(J\right)=C,T\left(A^{\prime }\right)=K$

Vậy $T\left(\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }IJ\right)=\mathrm{\Delta }KDC.$

Chọn đáp án C.

Câu 4: Cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ song song với nhau. Với M là một điểm bất kỳ, ta gọi $M_1$ là ảnh của M qua phép đối xứng Đ$\alpha$ và $M_2$ là ảnh của $M_1$ qua phép đối xứng Đ$\beta$. Phép biến hình f= Đ_$\alpha$ oĐ_$\beta$. Biến điểm M thành $M_2$ là

A. Một phép biến hình khác

B. Phép đồng nhất

C. Phép tịnh tiến

D. Phép đối xứng qua mặt phẳng

Hướng dẫn giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của $M{M}_1,M_1{M}_2(I\in \left(\alpha \right),J\in \left(\beta \right))$

Ta có:

$\begin{array}{rl}& D_{\alpha }\left(M\right)=M_1\Rightarrow \overrightarrow{M{M}_1}=2\overrightarrow{I{M}_1}\\ & D_{\beta }\left(M_1\right)=M_2\Rightarrow \overrightarrow{M_1{M}_2}=2\overrightarrow{M_{1}J}\end{array}$

Suy ra:

$\overrightarrow{M{M}_2}=2(\overrightarrow{I{M}_1}+\overrightarrow{M_1}J)=2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{u}$ (Không đổi)

Vậy $M_2$ là ảnh của M qua phép tịnh tiến $\overrightarrow{u}$.

Chọn đáp án D.

Câu 5: Trong không gian một tam giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng?

A. 1                               B. 2                               C. 3                               D. 4

Hướng dẫn giải:

Trong không gian, với tam giác đều bất kì ABC có bốn mặt phẳng đối xứng. Đó là: Ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh và mặt phẳng chứa $\mathrm{\Delta }ABC$.

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có các kích thước là a, b, c (a < b < c). Hình hộp chữ nhật này có mấy mặt đối xứng

A. 1                               B. 2                               C. 3                               D. 4

Hướng dẫn giải:

Hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có 3 mặt đối xứng, đó là các mặt phẳng trung trực AB, AD, AA’.

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Hình chóp này có mặt đối xứng nào?

A. Không có                

B. $\left(SAB\right)$

C. $\left(SAC\right)$           

D. $\left(SAD\right)$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $BD\mathrm{\perp }\left(SAC\right)$ và O là trung điểm của BD. Suy ra $\left(SAC\right)$ là mặt phẳng trung trực của BD. Suy ra $\left(SAC\right)$ là mặt đối xứng của hình chóp, và đây là mặt phẳng duy nhất.

Chọn đáp án C.

Câu 8: Trong không gian cho hai điểm I và J phân biệt. Với mỗi điểm M ta gọi $M_1$ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm $D_I$, $M_2$ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm $D_J$. Khi đó hợp thành của $D_I$ và $D_J$ biến điểm M thành điểm $M_2$ là

A. Phép đối xứng qua mặt phẳng   

B. Phép tịnh tiến

C. Phép đối xứng tâm

D. Phép đồng nhất

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$D_I\left(M\right)=M_1\Rightarrow \overrightarrow{M{M}_1}=2\overrightarrow{I{M}_1}$

$D_J\left(M_1\right)=M_2\Rightarrow \overrightarrow{M_1{M}_2}=2\overrightarrow{M_{1}J}$

Do đó:

$\overrightarrow{M{M}_1}=2(\overrightarrow{I{M}_1}+\overrightarrow{M_{1}J})=2\overrightarrow{IJ}$ (không đổi)

Vậy $M_2$ là ảnh của M qua phep tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{IJ}$.

Chọn đáp án B.

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề phép dời hình trong không gian và hai hình bằng nhau. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Tóm tắt lý thuyết và bài tập về khối đa diện

• Phương pháp phân chia và lắp ráp khối đa diện

Chúc các em học tập tốt!