Chuyên đề mặt phẳng trong không gian Oxyz

Trong không gian $\text{Ox}yz$ phương trình dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A^2+B^2+C^2>0$ được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

• Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)\text{:Ax+By+Cz+D=0}$ với $A^2+B^2+C^2>0$ có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(A;B;C).$

• Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận vecto $\overrightarrow{n}=(A;B;C),\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ làm vecto pháp tuyến dạng $\left(P\right):A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$

• Nếu $\left(P\right)$ có cặp vecto $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3);\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trên $\left(P\right).$ Thì vecto pháp tuyến của $\left(P\right)$ được xác định $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$.

Trong không gian $\text{Ox}yz$ cho mp $\left(\alpha \right)\text{:Ax+By+Cz+D=0,}$ với $A^2+B^2+C^2>0.$ Khi đó:

• $D=0$ khi và chỉ khi $\left(\alpha \right)$ đi qua gốc tọa độ.

• $A=0,B\ne 0,C\ne 0,D\ne 0$ khi và chỉ khi $\left(\alpha \right)$ song song trục $\text{Ox}.$

• $A=0,B=0,C\ne 0,D\ne 0$ khi và chỉ khi $\left(\alpha \right)$ song song mặt phẳng $\left(\text{Ox}y\right).$

• $A,B,C,D\ne 0.$ Đặt $a=-\frac{D}{A},b=-\frac{D}{B},c=-\frac{D}{C}.$ Khi đó : $\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{c}{z}=1$

Trong không gian $Oxyz$ cho $\left(\alpha \right)\text{:Ax+By+Cz+D=0}$ và $\left({\alpha }^{\prime }\right)\text{:A }{}^{\prime }\text{ x+B }{}^{\prime }\text{ y+C }{}^{\prime }\text{ z+D }{}^{\prime }\text{ =0}$

• $\left(\alpha \right)$ cắt $\left({\alpha }^{\prime }\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}A{B}^{\prime }\ne A^{\prime }B\\ B{C}^{\prime }\ne B^{\prime }C\\ C{B}^{\prime }\ne C^{\prime }B\end{array}$

• $\left(\alpha \right)$ // $\left({\alpha }^{\prime }\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}A{B}^{\prime }=A^{\prime }B\\ B{C}^{\prime }=B^{\prime }CvaA{D}^{\prime }\ne A^{\prime }D\\ C{B}^{\prime }=C^{\prime }B\end{array}$

• $\left(\alpha \right)$$\equiv$ $\left({\alpha }^{\prime }\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}A{B}^{\prime }=A^{\prime }B\\ B{C}^{\prime }=B^{\prime }C\\ C{B}^{\prime }=C^{\prime }B\\ A{D}^{\prime }=A^{\prime }D\end{array}$

Đặt biệt:  $\left(\alpha \right)\mathrm{\perp }\left({\alpha }^{\prime }\right)\iff \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0\iff A.A^{\prime }+B.B^{\prime }+C.C^{\prime }=0$

Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(0^0\le \phi \le {90}^0)$

$\left(P\right)\text{:Ax+By+Cz+D=0}$ và $\left(Q\right)\text{:A }{}^{\prime }\text{ x+B }{}^{\prime }\text{ y+C }{}^{\prime }\text{ z+D }{}^{\prime }\text{ =0}$

$\text{cos}\phi \text{=}\left|\text{cos}(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q})\right|=\frac{|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_Q}\right|}=\frac{|A.A^{\prime }+B.B^{\prime }+C.C^{\prime }|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A{{}^{\prime }}^2+B{{}^{\prime }}^2+C{{}^{\prime }}^2}}$

Ví dụ: Cho tứ giác $ABCD$ có $A(0;1;-1);B(1;1;2);C(1;-1;0);D(0;0;1).$ Viết phương trình của mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $A,B$ và chia tứ diện thành hai khối $ABCE$ và $ABDE$ có tỉ số thể tích bằng 3.

A. $15x-4y-5z-1=0$   

B. $15x+4y-5z-1=0$

C. $15x+4y-5z+1=0$

D. $15x-4y+5z+1=0$

Lời giải

$\left(P\right)$ cắt cạnh $CD$ tại $E,E$ chia đoạn $CD$ theoo tỷ số $-3$

$\Rightarrow E\{\begin{array}{l}x=\frac{x_C+3x_D}{4}=\frac{1+3.0}{4}=\frac{1}{4}\\ y=\frac{y_C+3y_D}{4}=\frac{-1+3.0}{4}=\frac{-1}{4}\\ z=\frac{z_C+3z_D}{4}=\frac{0+3.1}{4}=\frac{3}{4}\end{array}$

$\overrightarrow{AB}=(1;0;3);\overrightarrow{AE}=(\frac{1}{4};-\frac{5}{4};\frac{7}{4})=\frac{1}{4}(1;-5;7)$

Vecto pháp tuyến  của $\left(P\right):\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}]=(15;-4;-5)\Rightarrow \left(P\right):(x-0)15+(y-1)(-4)+(z+1)(-5)=0\iff 15x-4y-5z-1=0$

Chọn A.

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz,$ cho 2 điểm $A(1;3;2),B(3;2;1)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+2x-11=0.$ Tìm điểm $M$ trên $\left(P\right)$ sao cho $MB=2\sqrt{2},\stackrel{\wedge }{MBA}={30}^0.$

A. $[\begin{array}{l}M\left(1;2;3\right)\\ M\left(1;4;1\right)\end{array}$

B. $[\begin{array}{l}M\left(1;-2;3\right)\\ M\left(1;-4;1\right)\end{array}$

C. $[\begin{array}{l}M\left(2;1;3\right)\\ M\left(4;1;1\right)\end{array}$

D. $[\begin{array}{l}M\left(1;-2;3\right)\\ M\left(-1;4;1\right)\end{array}$

Lời giải

Nhận thấy $A\in \left(P\right),B\notin \left(P\right),AB=\sqrt{6}.$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $MAB$ ta có:

$M{A}^2=M{B}^2+B{A}^2=2MB.BA.c\text{os3}{\text{0}}^0=2\Rightarrow M{B}^2=M{B}^2+B{A}^2$

Do đó tam giác $MAB$ vuông tại $A.$

Ta có: $\overrightarrow{u_{AM}}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_p}\right]=\left(0;-5;5\right)\Rightarrow AM:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3-t\\ z=2+t\end{array}\Rightarrow M\left(1;3-t;2+t\right)$

Ta có $M{A}^2=2\Rightarrow t^2+t^2=2\iff t=\pm 1$

Với $t=1\Rightarrow M(1;2;3);t=-1\Rightarrow M(1;4;1)$

Chọn A.

Bài 2: Cho tứ giác $ABCD$ có $A(0;1;-1);B(1;1;2);C(1;-1;0);D(0;0;1).$ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(Q\right)$ song song với mặt phẳng $\left(BCD\right)$ và chia tứ diện thành hai khối $AMNF$ và $MNFBCD$ có tỉ số thể tích bằng $\frac{1}{27}.$

A. $3x-3z-4=0$                                                          B. $y-z-1=0$

C. $y+z-4=0$                                                             D. $4x+3z+4=0$

Lời giải

Tỷ số thể tích hai khối $AMNF$ và $MNFBCD$: ${\left(\frac{AM}{AB}\right)}^3=\frac{1}{27}$

$\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow M$ chia cạnh $AB$ theo tỉ số $-2$

$\Rightarrow E\{\begin{array}{l}x=\frac{1+2.0}{3}=\frac{1}{3}\\ y=\frac{1+2.1}{3}=1\\ x=\frac{2+2\left(-1\right)}{3}=0\end{array};\overrightarrow{BC}=-2\left(0;1;1\right);\overrightarrow{BD}=-\left(1;1;1\right)$                                

Vecto pháp tuyến của $\left(Q\right):\overrightarrow{n}=(0;1;-1)$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow M\in \left(Q\right)\Rightarrow \left(Q\right):(x-\frac{1}{3})0+(y-1)1+(z-0)(-1)=0\\ & \Rightarrow \left(P\right):y-z-1=0\end{array}$

Chọn B.

Bài 3: Từ gốc $O$ vẽ $OH$ vuông góc với mặt phẳng $\left(P\right),(OH=p)$; gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ lần lượt là các góc tạo bởi vec tơ pháp tuyến của $\left(P\right)$ với ba trục $\text{Ox},Oy,Oz.$ Phương trình của $\left(P\right)$ là:

A. $x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0$                         

B. $x\sin \alpha +y\sin \beta +z\sin \gamma -p=0$

C. $x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma +p=0$

D. $x\sin \alpha +y\sin \beta +z\sin \gamma +p=0$

Lời giải

$H(p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma )\Rightarrow \overrightarrow{OH}=(p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma )$

Gọi: $M(x,y,z)\in \left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{HM}=(x-p\cos \alpha ,y-p\cos \beta ,z-c\cos \gamma )$

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{OH}\mathrm{\perp }\overrightarrow{HM}\\ & \iff (x-p\cos \alpha )p\cos \alpha +(y-p\cos \beta )p\cos \beta +(z-c\cos \gamma )p\cos \gamma \\ & \iff \left(P\right):x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\end{array}$

Chọn A.

Bài 4: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left(P\right)$ cắt hai trục $y^{\prime }Oy$ và $z^{\prime }Oz$ tại $A(0,-1,0),B(0,0,1)$ và tạo với mặt phẳng $\left(yOz\right)$ một góc ${45}^0.$

A. $\sqrt{2}x-y+z-1=0$    

B. $\sqrt{2}x+y-z+1=0$

C. $\sqrt{2}x+y-z+1=0;\sqrt{2}x-y+z+1=0$

D. $\sqrt{2}x+y-z+1=0;\sqrt{2}x-y+z-1=0$

Lời giải

Gọi $C(a,0,0)$ là giao điểm của $\left(P\right)$ và trục $x^{\prime }\text{Ox}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}=(0,-1,-1);\overrightarrow{BC}=(a,0,-1)$

Vec tơ pháp tuyến của $\left(P\right)$ là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}]=(1,-a,a)$

Vec tơ pháp tuyến của $\left(yOz\right)$ là: $\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)$

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $\left(P\right)$ và $\left(yOz\right)\Rightarrow c\text{os4}{\text{5}}^0=\frac{1}{\sqrt{1+2a^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff 4a^2=2\iff a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy có hai mặt phẳng $\left(P\right):\pm \sqrt{2}x-y+z=1\Rightarrow \sqrt{2}x+y-z+1=0;\sqrt{2}x-y+z-1=0$

Chọn D.

Bài 5: Cho mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua hai điểm $A(3,0,4),B(-3,0,4)$ và hợp với mặt phẳng $\left(xOy\right)$ một góc ${30}^0$ và cắt $y^{\prime }Oy$ tại $C.$ Tính khoảng cách từ $O$ đến $\left(P\right).$

A. $4\sqrt{3}$   

B. $\sqrt{3}$  

C. $3\sqrt{3}$

D. $2\sqrt{3}$

Lời giải

Vẽ $OH\mathrm{\perp }KC$ với K là giao điểm

của $AB$ và trục $z^{\prime }Oz$.

Ta có: $\stackrel{\wedge }{C}={30}^0\Rightarrow \stackrel{\wedge }{K}={60}^0;OK=4$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow d(O,P)=OH=OK.\sin {60}^0\\ & =4.\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.\end{array}$

Chọn D.

Bài 6: Cho mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua hai điểm $A(3,0,4),B(-3,0,4)$ và hợp với mặt phẳng $\left(xOy\right)$ một góc ${30}^0$ và cắt $y^{\prime }Oy$ tại $C.$ Viết phương trình tổng quát mặt phẳng $\left(P\right).$

A. $y+\sqrt{3}z+4\sqrt{3}=0$   

B. $y+\sqrt{3}z-4\sqrt{3}=0$

C. $y\pm \sqrt{3}z\pm 4\sqrt{3}=0$  

D. $x-y-\sqrt{3}z-4\sqrt{3}=0$

Lời giải

$C(0,c,0);\overrightarrow{AC}=(-3,c,-4);\overrightarrow{AB}=(-6,0,0)$

Vec tơ pháp tuyến của $\left(P\right):\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}]=6(0,4,c)$

Vec tơ pháp tuyến của $\left(xOz\right):\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)$

$\begin{array}{rl}& \cos {30}^0=\frac{\left|c\right|}{\sqrt{16+c^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff c^2=48\iff c=\pm 4\sqrt{3}\Rightarrow \overrightarrow{n}=6(0,4,\pm 4\sqrt{3})\\ & \Rightarrow \left(P\right):(x-3).0+(y-0)4+(z-4)(\pm 4\sqrt{3})=0\iff y\pm z\sqrt{3}\pm 4\sqrt{3}=0\end{array}$

Chọn C.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề mặt phẳng trong không gian Oxyz. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề mặt cầu trong không gian Oxyz

• Chuyên đề đường thẳng trong không gian Oxyz

Chúc các em học tập tốt!