Chuyên đề đường thẳng trong không gian Oxyz

Phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3),\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ : $\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}$

Nếu $a_1;a_2;a_3$ đều khác không. Phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ viết dưới dạng chính tắc như sau:

$\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$

Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là: $\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$

với $\mathrm{\forall }{A}_1,B_1,C_1,A_2,B_2,C_2$ thỏa ${A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2>0,{A_2}^2+{B_2}^2+{C_2}^2>0.$

Chương trình cơ bản

Chương trình nâng cao

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian $\text{Ox}yz$ cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array};d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x={x_0}^{\prime }+{a_1}^{\prime }{t}^{\prime }\\ y={y_0}^{\prime }+{a_2}^{\prime }{t}^{\prime }\\ z={z_0}^{\prime }+{a_3}^{\prime }{t}^{\prime }\end{array}$ Vtcp $\overrightarrow{u}$ đi qua $M_0$ và $d^{\prime }$ có vtcp $\overrightarrow{u^{\prime }}$ đi qua ${M_0}^{\prime }$ $\overrightarrow{u},{\overrightarrow{u}}^{\prime }$ cùng phương: $d//d^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u^{\prime }}\\ M_0\notin d^{\prime }\end{array};d\equiv d^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u^{\prime }}\\ M_0\in d^{\prime }\end{array}$ $\overrightarrow{u},{\overrightarrow{u}}^{\prime }$ không cùng phương: $\{\begin{array}{l}{x}_0+a_{1}t={x_0}^{\prime }+{a_1}^{\prime }{t}^{\prime }\\ y_0+a_{2}t={y_0}^{\prime }+{a_2}^{\prime }{t}^{\prime }\\ z_0+a_{3}t={y_0}^{\prime }+{a_3}^{\prime }{t}^{\prime }\end{array}\left(I\right)$ d chéo d’ $\iff$ hệ phương trình (1) vô nghiệm d cắt d’ $\iff$ hệ phương trình (1) có 1 nghiệm

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Trong không gian $\text{Ox}yz$ cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array};d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x={x_0}^{\prime }+{a_1}^{\prime }{t}^{\prime }\\ y={y_0}^{\prime }+{a_2}^{\prime }{t}^{\prime }\\ z={z_0}^{\prime }+{a_3}^{\prime }{t}^{\prime }\end{array}$ Vtcp $\overrightarrow{u}$ đi qua $M_0$ và $d^{\prime }$ có vtcp $\overrightarrow{u^{\prime }}$ đi qua ${M_0}^{\prime }$ $\left(d\right)//\left(d^{\prime }\right)\iff \{\begin{array}{l}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]=\overrightarrow{0}\\ M_0\notin d^{\prime }\end{array}$ $\left(d\right)\equiv \left(d^{\prime }\right)\iff \{\begin{array}{l}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]=\overrightarrow{0}\\ M_0\in d^{\prime }\end{array}$ $\left(d\right)c\mathrm{a}\mathrm{t}\left(d^{\prime }\right)\iff \{\begin{array}{l}\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right]\ne \overrightarrow{0}\\ \left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right].\overrightarrow{M{M}_0}=0\end{array}$ $\left(d\right)cheo\left(d^{\prime }\right)\iff \left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right].\overrightarrow{M{M}_0}\ne 0$

Phương pháp 1

Phương pháp 2

Trong không gian $\text{Ox}yz$ cho: $\left(\alpha \right)\text{:Ax+By+Cz+D=0}$ và  $d:\{\begin{array}{l}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{3}t\end{array}$ Pt: $A(x_0+a_{1}t)+B(y_0+a_{2}t)+C(z_0+a_{3}t)+D=0\left(1\right)$ Phương trình $\left(1\right)$ vô nghiệm thì $d//\left(\alpha \right)$ Phương trình $\left(1\right)$ có 1 nghiệm thì $d$ cắt $\left(\alpha \right)$ Phương trình $\left(1\right)$ có vô số nghiệm thì $d\in \left(\alpha \right)$ Đặc biệt: $d\mathrm{\perp }\left(\alpha \right)\iff \overrightarrow{a},\overrightarrow{n}$ cùng phương

Trong không gian $\text{Ox}yz$ cho đường thẳng d qua $M(x_0;y_0;z_0)$ có vtcp: $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\left(\alpha \right)\text{:Ax+By+Cz+D=0}$ có vtpt $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ $\left(d\right)$ cắt $\left(\alpha \right)\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}\ne 0$  $\left(d\right)//\left(\alpha \right)\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=0\\ M\notin \left(\alpha \right)\end{array}$ $\left(d\right)$ nằm trên mp $\left(\alpha \right)$ $\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=0\\ M\in \left(\alpha \right)\end{array}$

Khoảng cách từ $M(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)\text{:Ax+By+Cz+D=0}$cho bởi công thức $d(M_0,\alpha )=\frac{|\text{A}{\text{x}}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Khoảng cách từ M đến đường thẳng $\left(d\right)$ Phương pháp 1: Lập ptmp $\left(\alpha \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với d. Tìm tọa độ giao điểm \)H\) của mp $\left(\alpha \right)$ và $d$ $d(M,d)=MH$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 1: $d$ đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$; có vtpt $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ $d^{\prime }$ đi qua $M^{\prime }({x_0}^{\prime };{y_0}^{\prime };{z_0}^{\prime })$;  vtpt $\overrightarrow{a^{\prime }}=({a_1}^{\prime };{a_2}^{\prime };{a_3}^{\prime })$ Lập phương trình mp $\left(\alpha \right)$ chứa d và song song với d’: $d(d,d^{\prime })=d(M^{\prime },\left(\alpha \right))$

Khoảng cách từ M đến đường thẳng $\left(d\right)$ Phương pháp 2: ($d$ đi qua $M_0$ có vtcp $\overrightarrow{u}$ ) $d(M,\mathrm{\Delta })=\frac{\left|[\overrightarrow{M_{0}M},\overrightarrow{u}]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp 2: $d$ đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$; có vtpt $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ $d^{\prime }$ đi qua $M^{\prime }({x_0}^{\prime };{y_0}^{\prime };{z_0}^{\prime })$;  vtpt $\overrightarrow{a^{\prime }}=({a_1}^{\prime };{a_2}^{\prime };{a_3}^{\prime })$ $d(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime })=\frac{|[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}|}{\left|[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }}]\right|}=\frac{V_{hop}}{S_{day}}$

Góc giữa hai đường thẳng

$\left(\mathrm{\Delta }\right)$ đi qua $M(x_0;y_0;z_0)$có VTCP $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$

$\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)$ đi qua $M^{\prime }({x_0}^{\prime };{y_0}^{\prime };{z_0}^{\prime })$có VTCP $\overrightarrow{a^{\prime }}=({a_1}^{\prime };{a_2}^{\prime };{a_3}^{\prime })$

$\cos \phi =\left|\text{cos}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\prime }})\right|=\frac{|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\prime }}|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{a^{\prime }}\right|}=\frac{|a_1.a{{}^{\prime }}_1+a_2.a{{}^{\prime }}_2+a_3.a{{}^{\prime }}_3|}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}.\sqrt{a{{{}^{\prime }}_1}^2+a{{{}^{\prime }}_2}^2+a{{{}^{\prime }}_3}^2}}$

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ đi qua $M_0$ có VTCP $\overrightarrow{a}$ , mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có VTPT $\overrightarrow{n}=(A;B;C).$

Gọi $\phi$ là góc hợp bởi $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right):\sin \phi =\left|\text{cos}(\overrightarrow{a},\overrightarrow{n})\right|=\frac{|\text{A}{\text{a}}_1+B{a}_2+C{a}_3|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}}$

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$ cho đường thẳng  $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-z-3=0.$ Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ nằm trong $\left(P\right)$ sao cho $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với $d$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và $d$ bằng $\sqrt{2}.$

A. $[\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }:\frac{x-7}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{-1}\\ \mathrm{\Delta }:\frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}\end{array}$

B. $[\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }:\frac{x+7}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{-1}\\ \mathrm{\Delta }:\frac{x+3}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}\end{array}$

C. $[\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }:\frac{x-7}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{-1}\\ \mathrm{\Delta }:\frac{x-3}{1}=\frac{y}{4}=\frac{z}{1}\end{array}$

D. $[\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }:\frac{x-7}{1}=\frac{-y}{-1}=\frac{z-4}{-1}\\ \mathrm{\Delta }:\frac{x-3}{1}=\frac{-y}{-1}=\frac{z-1}{-1}\end{array}$

Lời giải

Đường thẳng d có VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2;1;1).$ Mặt phẳng $\left(P\right)$ có VTPT $\overrightarrow{n_p}=(1;2;-1),$ ta có $[\overrightarrow{n_p},\overrightarrow{u_d}]=(3;-3;-3)$

Vì $\mathrm{\Delta }\subset \left(P\right),\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }d\Rightarrow VTPT\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=\frac{1}{3}[\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}};\overrightarrow{u_d}]=(0;-1;1)$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $\left(Q\right):y-z+m=0$

Chọn $A(1;-2;0)\in d,$ ta có:

$d(A;\left(Q\right))=d(\mathrm{\Delta };d)=\sqrt{2}\iff \frac{|-2+m|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\iff [\begin{array}{rl}& m=4\\ & m=0\end{array}$

Với $m=4\Rightarrow \left(Q\right):y-z+4=0$

Vì $\mathrm{\Delta }=\left(P\right)\cap \left(Q\right)\Rightarrow \mathrm{\Delta }$ đi qua \)B\left( 7;0;4 \right)\Rightarrow \Delta :\frac{x-7}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{-1}\)

Với $m=0\Rightarrow \left(Q\right):y-z=0$

Vì $\mathrm{\Delta }=\left(P\right)\cap \left(Q\right)\Rightarrow \mathrm{\Delta }$ đi qua \)C\left( 3;0;0 \right)\Rightarrow \Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}\)

Chọn A.

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, viết phương trình mặt phẳng $\left(Q\right)$ chứa đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}$ và tạo với mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-z+5=0$ một góc nhỏ nhất.

A . $\left(Q\right):y-z+4=0$

B. $\left(Q\right):y-z+6=0$

C. $\left(Q\right):y+2z+4=0$

D. $\left(Q\right):2y-z+4=0$

Lời giải

+ d có vtcp $\overrightarrow{u}=(2;1;1),\left(P\right)$ có vtpt $\overrightarrow{m}=(1;2;-1)$ , $\left(Q\right)$ có vtpt $\overrightarrow{n}=(a,b,c),(a^2+b^2+c^2>0)$

+ do $\left(Q\right)$ chứa $d$ nên ta có: $\overrightarrow{n}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u}\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\iff 2a+b+c=0\iff c=-2a-b\iff \overrightarrow{n}=(a,b,-2a-b)$

+ Góc hợp bởi $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ là $\alpha$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow c\text{os}\alpha \text{=}\left|\text{cos}(\overrightarrow{m};\overrightarrow{n})\right|=\frac{|\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{|a+2b+2z+b|}{\sqrt{6}.\sqrt{a^2+b^2+{(2a+b)}^2}}\\ & c\text{os}\alpha \text{=}\frac{3|a+b|}{\sqrt{6}.\sqrt{a^2+b^2+{(2a+b)}^2}}\le \frac{3|a+b|}{\sqrt{6}.\sqrt{2{(a+b)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \alpha \ge {30}^0\end{array}$

Vậy ${\alpha }_{min}={30}^0.$ Dấu bằng xảy ra khi và chi khi \)a=0\) lúc đó ta chọn \)b=1;c=-1\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 0;1;-1 \right)\)

Mặt phẳng $\left(Q\right):\{\begin{array}{l}qua:A\left(-1;-1;3\right)\\ vtpt:\overrightarrow{n}=\left(0;1;-1\right)\end{array}$ từ đó $\left(Q\right):y-z+4=0$.

Chọn A.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$ cho đường thẳng  $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-3=0.$ Gọi I\)= là giao điểm của $d,\left(P\right).$ Tìm $M\in \left(P\right)$ sao cho $MI$ vuông góc với $d$ và $MI=4\sqrt{14}.$

A. $[\begin{array}{l}M\left(5;9;-11\right)\\ M\left(-3;-7;13\right)\end{array}$

B. $[\begin{array}{l}M\left(5;7;-11\right)\\ M\left(-3;-7;13\right)\end{array}$

C. $[\begin{array}{l}M\left(-5;9;-11\right)\\ M\left(3;-7;13\right)\end{array}$

D.$[\begin{array}{l}M\left(5;-7;11\right)\\ M\left(3;7;-13\right)\end{array}$

Lời giải

Vì $I\in d$ nên $I(2+t;-1-2t;-t).$

Hơn nữa $I\in \left(P\right)\Rightarrow 2+t-1-2t-3=0\iff t=-1\Rightarrow I(1;1;1)$

Gọi $M(a;b;c).$

Do: $\{\begin{array}{l}M\in \left(P\right)\Rightarrow a+b+c=3\\ MI\mathrm{\perp }d\Rightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u_d}=0\iff a-2b-c+2=0\end{array}$ $(\overrightarrow{IM}=(a-1;b-1;c-1),\overrightarrow{u_d}=(1;-2;-1))$

Do $MI=4\sqrt{14}\Rightarrow {(a-1)}^2+{(b-1)}^2+{(c-1)}^2=224.$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}a+b+c=3\\ a-2b-c+2=0\\ {\left(a-1\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2=224\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=2a-1\\ c=4-3a\\ {\left(a-1\right)}^2=16\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=5\\ b=9\\ c=-11\end{array}\cup \{\begin{array}{l}a=-3\\ b=-7\\ c=13\end{array}$

Với $(a;b;c)=(5;9;-11)\Rightarrow M(5;9;-11)$

Với $(a;b;c)=(-3;-7;13)\Rightarrow M(-3;-7;13)$

Chọn A.

Bài 3: Trong không gian $\text{Ox}yz,$ cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x-2y+2z=0,\left(Q\right):2x+2y+z-1=0.$ Viết phương trình của đường thẳng $d$ đi qua $A(0;0;1),$ nằm trong mặt phẳng $\left(Q\right)$ và tạo với mặt phẳng $\left(P\right)$ một góc bằng ${45}^0.$

A. $d_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t\\ z=1-4t\end{array};d_2:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\\ z=1\end{array}$

B. $d_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t-1\\ z=1-4t\end{array};d_2:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=1\end{array}$

C. $d_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t-1\\ z=1-4t\end{array};d_2:\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=-t\\ z=1+4t\end{array}$

D. $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=1-t\\ z=1-4t\end{array};d_2:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\\ z=1\end{array}$

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{n}=(2;2;1)$ là vecto pháp tuyến của $\left(Q\right),\overrightarrow{b}=(1;-2;2)$ là vec tơ pháp tuyến của $\left(P\right)$ .

Gọi $\overrightarrow{a}=(a;b;c),a^2+b^2+c^2>0$ là một vecto chỉ phương của $d.$

Vì đường thẳng $d$ đi qua $A(0;0;1)$ mà $A(0;0;1),A\in \left(Q\right)$

Do đó $d\subset \left(Q\right)\iff \overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n}\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=0\iff 2a+2b+c=0\iff c=-2a-2b$

Góc hợp bởi $d$ và $\left(P\right)$ bằng ${45}^0:$

$\iff \sin {45}^0=\left|\text{cos}(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})\right|=\frac{|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\iff \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|a-2b+2c|}{3\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\iff 18(a^2+b^2+c^2)=4{(a-2b+2c)}^2\iff a=\pm b$

$\begin{array}{rl}& a=b(b=1\Rightarrow a=1;c=-4)\\ & a=-b(b=-1\Rightarrow a=1;c=0)\end{array}$

Vậy $d_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t\\ z=1-4t\end{array};d_2:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\\ z=1\end{array}$ là các đường thẳng cần tìm.

Chọn A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề đường thẳng trong không gian Oxyz. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề mặt phẳng trong không gian Oxyz

• Chuyên đề mặt cầu trong không gian Oxyz

Chúc các em học tập tốt!