Bài toán: đồ thị cắt trục hoành tạo 3, 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

I. Phương pháp giải

1. Tìm điều kiện để đồ thị (C): y=ax3+bx2+cx+d(a0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.

(C) cắt trục hoành nên có: ax3+bx2+cx+d=0()

x1,x2,x3 lập thành một cấp số cộng

⇔ phương trình () có 3 nghiệm x1,x2,x3 thỏa mãn x1+x3=2x2 (1)

Khi đó: ax3+bx2+cx+d=a(xx1)(xx2)(xx3)

=a[x3(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)xx1x2x3](2)

Từ (1)(2) suy ra x2=b3a

Thế x2=b3a vào () để suy ra điều kiện cần tìm.

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

2. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân.

Giả sử () có 3 nghiệm x1,x2,x3 lập thành cấp số nhân

⇔ phương trình () có 3 nghiệm x1,x2,x3 thỏa mãn x1x3=x22 (3).

Từ (3)(2) suy ra Þ x23=da là 1 nghiệm của ().

Thế x2=da3 vào  () để suy ra điều kiện cần tìm.

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

3. Tìm điều kiện để đồ thị (C): y=ax4+bx2+c(a0) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệtcó hoành độ lập thành một cấp số cộng

ax4+bx2+c=0 (1) có 4 nghiệm phân biệt

at2+bt+c=0(t=x2) (2) có 2 nghiệm dương phân biệt t1,t2 (giả sử t1<t2) (1)

Khi đó các nghiệm của (1) là: t2;t1;t1;t2.

t2;t1;t1;t2 lập thành cấp số cộng nên t2t1=t1(t1)

t2=9t1(2)

Giải điều kiện: (1),(2)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : 

1. Định m để  đồ thị của  hàm số y=x33x29x+m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng.

2. Cho hàm số y=x3(4m+5)x2+(3m2+12m+8)x7m28m có đồ thị (Cm). Với m là tham số thực. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định D=R

Phương trình hoành độ giao điểm: x33x29x+m=0()

Giả sử đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3 (x1<x2<x3) thì x1,x2,x3 là nghiệm của phương trình ().

Khi đó: x33x29x+m=(xx1)(xx2)(xx3)

=x3(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)xx1x2x3x1+x2+x3=3(1)

Do x1,x2,x3lập thành một cấp số cộngx1+x3=2x2(2).

Thế (2) vào (1) ta có : x2= 1.

Thay x2= 1 vào phương trình (), tìm được m = 11.

Với m = 11 thì phương trình () x33x29x+11=0(x1)(x22x11)=0, phương trình này có 3 nghiệm  x1=123, x2=1, x3=1+23 thỏa mãn điều kiện x1+x3=2x2

Vậy, m = 11 thì đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3 lập thành cấp số cộng có công sai d=23

2. Hàm số đã cho xác định D=R

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.

Hoành độ giao điểm của trục hoành và (Cm) là nghiệm của phương trình x3(4m+5)x2+(3m2+12m+8)x7m28m=0(xm)[x2(3m+5)x+7m+8]=0x=m hoặc g(x)=x2(3m+5)x+7m+8=0

Để (Cm) cắt trục hoành  tại ba điểm phân biệt  khi và chỉ khi phương trình g(x)  có hai nghiệm phân biện khác m tức phải có:

{Δ>0g(m)0{9m2+2m7>02m2+2m+80[1172m<179<m1+172()

Với điều kiện () thì (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  có hoành độ x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng.

Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số cộng của phương trình hoành độ là x0d, x0, x0+d với d là công sai. Khi đó đẳng thức sau luôn đúng

x3(4m+5)x2+(3m2+12+8)x7m28m=(xx0d)(xx0)(xx0+d)

{4m+5=3x03m2+12m+8=3x02d27m2+8m=x03x0d27m2+8m=(4m+53)34m+53.7m2+4m+13

10m3+51m26m55=0m=1 hoặc m=5 hoặc m=1110

Kết hợp với điều kiện 1172m<1 hoặc \(\frac{7}{9}

Vậy m=1 hoặc m=5 hoặc m=1110  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2 :  Định m để  đồ thị của  hàm số y=x4+2(m+2)x22m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3,x4 lập thành cấp số cộng.

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D=R

Phương trình hoành độ giao điểm: x4+2(m+2)x22m3=0(1)

Đặtt=x2,t0 thì (1) trở thành g(t)=t2+2(m+2)t2m3(2)

Đồ thị của  hàm số  cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3,x4 (1) có bốn nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4) (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1,t2(t1<t2), tức là phải có : {Δ=(m+2)22m3>0S=2(m+2)>0P=2m+3>0{(m+1)2>0m>2m>32{m>32m1 (*)

Theo định lí Viet, ta có: {t1+t2=2(m+2)(a)t1t2=2m+3(b).

Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt: x1=t2<x2=t1<x3=t1<x4=t2.

Ta có: x1,x2,x3,x4 lập thành một cấp số cộng x2x1=x3x2=x4x3 t1+t2=t1+t1=t2t1t2=9t1(c)

Từ (a) và (c), ta có: t1=15(m+2),t2=95(m+2).

Thế vào (b), ta được: 15(m+2).95(m+2)=2m+39m214m39=0 m=139 hoặc m=3 (thỏa ()).

Vậy, với m=139 hoặc m=3 thỏa mãn bài toán

Ví dụ 3 : 

1. Định m để  đồ thị của hàm số y=x33mx2(m+1)x8 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân.

2. Cho hàm số y=x3+(3m+1)x22(3m+1)x+8 . Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân.

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định D=R

Phương trình hoành độ giao điểm:   x3(2m+5)x2+14mx8=0()

Đk cần: Giả sử đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1;x2;x3

lần lượt lập thành cấp số nhân.

Khi đó ta có: x3(2m+5)x2+14mx8=(xx1)(xx2)(xx3)

Suy ra: {x1+x2+x3=2m+5x1x2+x2x3+x1x3=14mx1x2x3=8

x1;x2;x3 lần lượt lập thành cấp số nhân x1x3=x22x23=8x2=2

Với x2=2 là nghiệm của phương trình (), nên có: 23(2m+5)22+14m.28=0 hay m=1

Với m=1 thay vào () ta được: x37x2+14x8=0

(x1)(x2)(x4)=0x=1 hoặc x=2 hoặc x=4 thấy thỏa mãn.

Vậy, m=1 thỏa mãn đề bài.

2. Hàm số đã cho xác định D=R

Cách 1: Hoành độ giao điểm của trục hoành và (Cm) là nghiệm của phương trình

x3+(3m+1)x22(3m+1)x+8=0

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là  x1, x2, x3 với x1x3=x22. (1)

Khi đó: x3+(3m+1)x22(3m+1)x+8=(xx1)(xx2)(xx3) (2)

Phân tích vế trái trở thành x3+(x1+x2+x3)x2(x1x2+x2x3+x3x1)x+x1x2x3

Phương trình (2) xảy ra {3m+1=x1+x2+x32(3m+1)=x1x2+x2x3+x3x18=x1x2x3

Từ (1) ta có 8=x1x2x3=8=x23x2=2x1+x3=3m1 nên x1, x3 là nghiệm của phương trình t2(3m1)t+4=0x1, x32 tức là có hệ:

{(3m1)24.4>04(3m1)2+40{(3m5)(3m+3)>053m0[m>53m<1

Cách 2:

 x3+(3m+1)x22(3m+1)x+8=0=(2x)[x23(m+1)x+4]

Do đó x=2g(x)=x23(m+1)x+4=0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 2 và tích hai nghiệm luôn bằng 4.

III. Bài tập

Bài 1: Cho hàm số y=x42(m+1)x2+2m+1 có đồ thị là (Cm). Định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Bài 2: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y=x4(3m+2)x+2m25m1, m là tham số . Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng  (d) : y -  2 = 0 tại 4 điểm phân biệt

1. Có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

2. Có hoành độ lớn hơn – 4 .

Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số :

1. y=x3+3x2+(4m1)x+2m23 cắt Ox tại ba điểm A,B,C sao cho AB=BC.

2. y=x42mx2+2m+3 cắt trục hoành tại bốn điểm A,B,C,D sao cho AB=BC=CD.

3. Cho hàm số y=x3+px2+pqx+q3 có đồ thị là (C), với p,q là các số thực cho trước thỏa mãn p>3q>0. Chứng minh rằng (C) cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân.

4. y= x410mx2+6m+3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

HƯỚNG DẪN GIẢI

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Bài toán: đồ thị cắt trục hoành tạo 3, 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng, cấp số nhân. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

Chúc các em học tập tốt!

 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?