I. Phương pháp giải
1. Tìm điều kiện để đồ thị (C): \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,(a\ne 0)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.
(C) cắt trục hoành nên có: \(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,=0\mathsf{ }(*)\)
\({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) lập thành một cấp số cộng
⇔ phương trình \((*)\) có 3 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}\) \((1)\)
Khi đó: \(a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\,\,=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})(x-{{x}_{3}})\)
\(=a\left[ {{x}^{3}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}){{x}^{2}}+({{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}})x-{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}} \right]\)\((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \({{x}_{2}}=-\frac{b}{3a}\)
Thế \({{x}_{2}}=-\frac{b}{3a}\) vào \((*)\) để suy ra điều kiện cần tìm.
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
2. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân.
Giả sử \((*)\) có 3 nghiệm \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}},\,{{x}_{3}}\) lập thành cấp số nhân
⇔ phương trình \((*)\) có 3 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) thỏa mãn \({{x}_{1}}{{x}_{3}}=x_{2}^{2}\) \((3)\).
Từ \((3)\) và \((2)\) suy ra Þ \(x_{2}^{3}=-\frac{d}{a}\) là 1 nghiệm của \((*)\).
Thế \({{x}_{2}}=\sqrt[3]{-\frac{d}{a}}\) vào \((*)\) để suy ra điều kiện cần tìm.
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
3. Tìm điều kiện để đồ thị (C): \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\,\,(a\ne 0)\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệtcó hoành độ lập thành một cấp số cộng
⇔ \(a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0\) (1) có 4 nghiệm phân biệt
⇔ \(a{{t}^{2}}+bt+c=0\,\,(t={{x}^{2}})\) (2) có 2 nghiệm dương phân biệt \({{t}_{1}},\,{{t}_{2}}\) (giả sử \({{t}_{1}}<\,{{t}_{2}}\)) \(\left( 1 \right)\)
Khi đó các nghiệm của (1) là: \(-\sqrt{{{t}_{2}}};\,-\sqrt{{{t}_{1}}};\,\sqrt{{{t}_{1}}};\,\sqrt{{{t}_{2}}}\).
Vì \(-\sqrt{{{t}_{2}}};\,-\sqrt{{{t}_{1}}};\,\sqrt{{{t}_{1}}};\,\sqrt{{{t}_{2}}}\) lập thành cấp số cộng nên \(\sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}}=\sqrt{{{t}_{1}}}-\left( -\sqrt{{{t}_{1}}} \right)\)
\(\Leftrightarrow {{t}_{2}}=9{{t}_{1}}\)\(\left( 2 \right)\)
Giải điều kiện: \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\)
II. Ví dụ minh họa
| Ví dụ 1 : 1. Định m để đồ thị của hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{\text{x}}_{\text{1}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{2}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{3}}}\) lập thành cấp số cộng. 2. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-\left( 4m+5 \right){{x}^{2}}+\left( 3{{m}^{2}}+12m+8 \right)x-7{{m}^{2}}-8m\) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right).\) Với \(m\) là tham số thực. Tìm \(m\) để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. |
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)
Phương trình hoành độ giao điểm: \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m=0\,\,\,(*)\)
Giả sử đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) \(({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}})\) thì \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) là nghiệm của phương trình \(\,(*)\).
Khi đó: \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m=(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})(x-{{x}_{3}})\)
\(={{x}^{3}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}){{x}^{2}}+({{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}})x-{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3\,\,\,\,(1)\)
Do \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\)lập thành một cấp số cộng\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}\,\,\,\,(2)\).
Thế (2) vào (1) ta có : \({{\text{x}}_{\text{2}}}=\text{ 1}\).
Thay \({{\text{x}}_{\text{2}}}=\text{ 1}\) vào phương trình \(\,(*)\), tìm được m = 11.
Với m = 11 thì phương trình \(\,(*)\) \(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+11=0\Leftrightarrow (x-1)({{x}^{2}}-2x-11)=0\), phương trình này có 3 nghiệm \({{x}_{1}}=1-2\sqrt{3}\), \({{x}_{2}}=1\), \({{x}_{3}}=1+2\sqrt{3}\) thỏa mãn điều kiện \({{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}\)
Vậy, m = 11 thì đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) lập thành cấp số cộng có công sai \(d=2\sqrt{3}\)
2. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}.\)
Hoành độ giao điểm của trục hoành và \(\left( {{C}_{m}} \right)\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-\left( 4m+5 \right){{x}^{2}}+\left( 3{{m}^{2}}+12m+8 \right)x-7{{m}^{2}}-8m=0\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left[ {{x}^{2}}-\left( 3m+5 \right)x+7m+8 \right]=0\)\(\Leftrightarrow x=m\) hoặc \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 3m+5 \right)x+7m+8=0\)
Để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biện khác \(m\) tức phải có:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ g\left( m \right) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9{m^2} + 2m - 7 > 0\\ - 2{m^2} + 2m + 8 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{1 - \sqrt {17} }}{2} \ne m < - 1\\ \frac{7}{9} < m \ne \frac{{1 + \sqrt {17} }}{2} \end{array} \right.\left( * \right)\)
Với điều kiện \(\left( * \right)\) thì \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}},\ {{x}_{3}}\) lập thành một cấp số cộng.
Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số cộng của phương trình hoành độ là \({{x}_{0}}-d,\ {{x}_{0}},\ {{x}_{0}}+d\) với d là công sai. Khi đó đẳng thức sau luôn đúng
\({{x}^{3}}-\left( 4m+5 \right){{x}^{2}}+\left( 3{{m}^{2}}+12+8 \right)x-7{{m}^{2}}-8m=\left( x-{{x}_{0}}-d \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}}+d \right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4m + 5 = 3{x_0}\\ 3{m^2} + 12m + 8 = 3x_0^2 - {d^2}\\ 7{m^2} + 8m = x_0^3 - {x_0}{d^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow 7{m^2} + 8m = {\left( {\frac{{4m + 5}}{3}} \right)^3} - \frac{{4m + 5}}{3}.\frac{{7{m^2} + 4m + 1}}{3}\)
\(\Leftrightarrow 10{{m}^{3}}+51{{m}^{2}}-6m-55=0\Leftrightarrow m=1\) hoặc \(m=-5\) hoặc \(m=-\frac{11}{10}\)
Kết hợp với điều kiện \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\ne m<-1\) hoặc \(\frac{7}{9}
Vậy \(m=1\) hoặc \(m=-5\) hoặc \(m=-\frac{11}{10}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
| Ví dụ 2 : Định m để đồ thị của hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2(m+2){{x}^{2}}-2m-3\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ \({{\text{x}}_{\text{1}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{2}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{3}}},{{x}_{4}}\) lập thành cấp số cộng. |
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)
Phương trình hoành độ giao điểm: \(-{{x}^{4}}+2(m+2){{x}^{2}}-2m-3=0\,\,\,\,(1)\)
Đặt\(t={{x}^{2}},t\ge 0\) thì \((1)\) trở thành \(g(t)=-{{t}^{2}}+2(m+2)t-2m-3\,\)\((2)\)
Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ \({{\text{x}}_{\text{1}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{2}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{3}}},{{x}_{4}}\) \(\Leftrightarrow \)(1) có bốn nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}\,\,\,\,({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}<{{x}_{4}})\)\(\Leftrightarrow \) (2) có hai nghiệm dương phân biệt \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\,\,\,({{t}_{1}}<{{t}_{2}})\), tức là phải có : \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = {(m + 2)^2} - 2m - 3 > 0\\ S = 2(m + 2) > 0\\ P = 2m + 3 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {(m + 1)^2} > 0\\ m > - 2\\ m > - \frac{3}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > - \frac{3}{2}\\ m \ne - 1 \end{array} \right.\) (*)
Theo định lí Viet, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = 2(m + 2)\,\,\,(a)\\ {t_1}{t_2} = 2m + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(b) \end{array} \right.\).
Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt: \({{x}_{1}}=-\sqrt{{{t}_{2}}}<{{x}_{2}}=-\sqrt{{{t}_{1}}}<{{x}_{3}}=\sqrt{{{t}_{1}}}<{{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}\).
Ta có: \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}\) lập thành một cấp số cộng \(\Leftrightarrow \) \({{x}_{2}}-{{x}_{1}}={{x}_{3}}-{{x}_{2}}={{x}_{4}}-{{x}_{3}}\) \(\Leftrightarrow -\sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{2}}}=\sqrt{{{t}_{1}}}+\sqrt{{{t}_{1}}}=\sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}}\)\(\Leftrightarrow {{t}_{2}}=9{{t}_{1}}\,\,\,\,(c)\)
Từ (a) và (c), ta có: \({{t}_{1}}=\frac{1}{5}(m+2),\,\,\,\,{{t}_{2}}=\frac{9}{5}(m+2)\).
Thế vào (b), ta được: \(\frac{1}{5}(m+2).\frac{9}{5}(m+2)=2m+3\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-14m-39=0\) \(\Leftrightarrow m=-\frac{13}{9}\) hoặc \(m=3\) (thỏa \(\left( * \right)\)).
Vậy, với \(m=-\frac{13}{9}\) hoặc \(m=3\) thỏa mãn bài toán
| Ví dụ 3 : 1. Định m để đồ thị của hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}-(m+1)x-8\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{\text{x}}_{\text{1}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{2}}},\text{ }{{\text{x}}_{\text{3}}}\) lập thành cấp số nhân. 2. Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+\left( 3m+1 \right){{x}^{2}}-2\left( 3m+1 \right)x+8\ .\) Tìm \(m\) để \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân. |
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)
Phương trình hoành độ giao điểm: \({{x}^{3}}-\left( 2m+5 \right){{x}^{2}}+14mx-8=0\)\((*)\)
Đk cần: Giả sử đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}\)
lần lượt lập thành cấp số nhân.
Khi đó ta có: \({{x}^{3}}-\left( 2m+5 \right){{x}^{2}}+14mx-8=(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})(x-{{x}_{3}})\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + {x_3} = 2m + 5\\ {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = 14m\\ {x_1}{x_2}{x_3} = 8 \end{array} \right.\)
\({{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}\) lần lượt lập thành cấp số nhân \(\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{3}}=x_{2}^{2}\Rightarrow x_{2}^{3}=8\Rightarrow {{x}_{2}}=2\)
Với \({{x}_{2}}=2\) là nghiệm của phương trình \((*)\), nên có: \({{2}^{3}}-\left( 2m+5 \right){{2}^{2}}+14m.2-8=0\) hay \(m=1\)
Với \(m=1\) thay vào \((*)\) ta được: \({{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+14x-8=0\)
\(\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=2\) hoặc \(x=4\) thấy thỏa mãn.
Vậy, \(m=1\) thỏa mãn đề bài.
2. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)
Cách 1: Hoành độ giao điểm của trục hoành và \(\left( {{C}_{m}} \right)\) là nghiệm của phương trình
\(-{{x}^{3}}+\left( 3m+1 \right){{x}^{2}}-2\left( 3m+1 \right)x+8=0\)
Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}},\ {{x}_{3}}\) với \({{x}_{1}}{{x}_{3}}=x_{2}^{2}.\ \left( 1 \right)\)
Khi đó: \(-{{x}^{3}}+\left( 3m+1 \right){{x}^{2}}-2\left( 3m+1 \right)x+8=-\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)\ \left( 2 \right)\)
Phân tích vế trái trở thành \(-{{x}^{3}}+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right){{x}^{2}}-\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)x+{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\)
Phương trình \(\left( 2 \right)\) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3m + 1 = {x_1} + {x_2} + {x_3}\\ 2\left( {3m + 1} \right) = {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}\\ 8 = {x_1}{x_2}{x_3} \end{array} \right.\)
Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(8={{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=8=x_{2}^{3}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=2\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{3}}=3m-1\) nên \({{x}_{1}},\ {{x}_{3}}\) là nghiệm của phương trình \({{t}^{2}}-\left( 3m-1 \right)t+4=0\) và \({{x}_{1}},\ {{x}_{3}}\ne 2\) tức là có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {3m - 1} \right)^2} - 4.4 > 0\\ 4 - \left( {3m - 1} \right)2 + 4 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {3m - 5} \right)\left( {3m + 3} \right) > 0\\ 5 - 3m \ne 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m > \frac{5}{3}\\ m < - 1 \end{array} \right.\)
Cách 2:
\(-{{x}^{3}}+\left( 3m+1 \right){{x}^{2}}-2\left( 3m+1 \right)x+8=0=\left( 2-x \right)\left[ {{x}^{2}}-3\left( m+1 \right)x+4 \right]\)
Do đó \(x=2\) và \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-3\left( m+1 \right)x+4=0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác 2 và tích hai nghiệm luôn bằng 4.
III. Bài tập
Bài 1: Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2m+1\) có đồ thị là \(\left( {{C}_{m}} \right)\). Định \(m\) để đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Bài 2: Gọi \(\left( {{\text{C}}_{\text{m}}} \right)\) là đồ thị của hàm số \(\text{y}={{x}^{4}}-(3m+2)x+2{{m}^{2}}-5m-1\), m là tham số . Tìm m để \(\left( {{\text{C}}_{\text{m}}} \right)\) cắt đường thẳng (d) : y - 2 = 0 tại 4 điểm phân biệt
1. Có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
2. Có hoành độ lớn hơn – 4 .
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số :
1. \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+(4m-1)x+2{{m}^{2}}-3\) cắt \(Ox\) tại ba điểm \(A,B,C\) sao cho \(AB=BC\).
2. \(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m+3\) cắt trục hoành tại bốn điểm \(A,B,C,D\) sao cho \(AB=BC=CD\).
3. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+pqx+{{q}^{3}}\) có đồ thị là \((C)\), với \(p,q\) là các số thực cho trước thỏa mãn \(p>3q>0\). Chứng minh rằng \((C)\) cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
4. \(\text{y}=\text{ }{{\text{x}}^{\text{4}}}\text{1}0\text{m}{{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{6m}+\text{3}\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
HƯỚNG DẪN GIẢI
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Bài toán: đồ thị cắt trục hoành tạo 3, 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng, cấp số nhân. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
