Chuyên đề mặt cầu trong không gian Oxyz

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm \(O\) cố định một khoảng cách \(R\) cho trước là mặt cầu tâm \(O\) và bán kính \(R.\) Kí hiệu \(S\left( O;R \right).\)

Trong không gian với hệ trục \(\text{Ox}yz:\)

- Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( a,b,c \right)\) bán kính \(R\) có phương trình là: \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}.\)

- Phương trình: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0,\,\,\) với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0\) là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( a;b;c \right),\) bán kính \(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}\) .

• \(d\left( I,\left( P \right) \right)>R\) khi và chỉ khi \(\left( P \right)\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right).\)

• \(d\left( I,\left( P \right) \right)=R\) khi và chỉ khi \(\left( P \right)\) tiếp xúc mặt cầu \(\left( S \right).\)

• \(d\left( I,\left( P \right) \right)

Cho mặt cầu \(S\left( O;R \right)\) và đường thẳng \(\Delta \). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(\Delta \) và \(d=OH\) là khoảng cách từ \(\text{O}\) đến \(\Delta \)

• Nếu \(d

• Nếu \(d=R\) thì \(\Delta \) cắt mặt cầu tại 1 điểm duy nhất (H.3.2)

• Nếu \(d>R\) thì \(\Delta \) không cắt mặt cầu (H.3.3)

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{Ox}yz,\) cho \(A\left( 1;0;0 \right),B\left( 2;-1;2 \right),C\left( -1;1;-3 \right).\) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục \(Oy,\) đi qua \(A\) và cắt mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

A. \({{x}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{5}{4}\)

B. \({{x}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{5}{4}\)

C . \({{x}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{9}{4}\)  

D. \({{x}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{5}{4}\)

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) có phương trình: \(x-y-z-1=0\)

Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm \(I\in Oy\) và cắt \(\left( ABC \right)\) theo một đường tròn bán kính r nhỏ nhất.

Vì \(I\in Oy\) nên \(I\left( 0;t;0 \right),\) gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( ABC \right)\) khi đó là có bán kính

đường tròn giao của \(\left( ABC \right)\) và \(\left( S \right)\) là \(r=AH=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{H}^{2}}}.\)

Ta có \(I{{A}^{2}}={{t}^{2}}+1,IH=d\left( I,\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| t+1 \right|}{\sqrt{3}}\Rightarrow r=\sqrt{{{t}^{2}}+1-\frac{{{t}^{2}}+2t+1}{3}}=\sqrt{\frac{2{{t}^{2}}-2t+2}{3}}.\)

Do đó, r nhỏ nhất khi và chỉ khi \)t=\frac{1}{2}.\) Khi đó \(I\left( 0;\frac{1}{2};0 \right),I{{A}^{2}}=\frac{5}{4}\)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là : \({{x}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{5}{4}\)

Chọn A.

Bài 1: Trong không gian \(\text{Ox}yz,\) viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( Q \right):2x+y+2z+1=0\) tại \(M\left( 1;-1;-1 \right)\) và tiếp xúc mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-2z+8=0\)

A. \(\left[ \begin{array}{l} \left( c \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\\ \left( c \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9 \end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l} \left( c \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\\ \left( c \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9 \end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l} \left( c \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\\ \left( c \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9 \end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l} \left( c \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 81\\ \left( c \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 81 \end{array} \right.\)

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left( 2;1;2 \right).\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( Q \right)\) có phương trình là  \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right..\)

Lấy \(I\left( 1+2t;-1+t;-1+2t \right)\in d\)

\(\begin{align} & MI=d\left( I,\left( P \right) \right)\Leftrightarrow \sqrt{4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}}=\left| \frac{1+2t-2+2t+2-4t+8}{\sqrt{1+4+4}} \right|\Leftrightarrow t=\pm \\ & t=1\Rightarrow I\left( 3;0;1 \right),R=3\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9 \\ & t=-1\Rightarrow I\left( -1;-2;-3 \right),R=3\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=9 \\ \end{align}\)

Chọn A.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{Ox}yz,\) viết phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( 1;2;3 \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\frac{x}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{2}.\)

A. \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{233}{9}\)

B. \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{243}{9}\)

C . \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{2223}{9}\)

D. \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{333}{9}\)

Lời giải

+ Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( 0;-2;0 \right)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;2 \right).\) Tính được \(\overrightarrow{MI}=\left( 1;4;3 \right).\)

+ Khẳng định và tính được \(d\left( I,d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{MI},\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\frac{\sqrt{233}}{3}\)

+ Khẳng định mặt cầu cần tìm có bán kính bằng \(d\left( I,d \right)\) và viết phương trình: \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{233}{9}\)

Chọn A.

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{Ox}yz,\)cho mặt cầu có phương trình

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y+6z-12=0\) và đường thẳng \(d:x=5+2t;y=4;z=7+t.\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(M\left( 5;0;1 \right)\) biết đường thẳng \(\Delta \) tạo với đường thẳng \(d\) một góc \(\varphi \) thỏa mãn \(\text{cos}\varphi =\frac{1}{\sqrt{7}}.\)

A. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 3t\\ y = - 5t\\ z = 1 - t \end{array} \right. \vee \Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 13t\\ y = 5t\\ z = 1 - 11t \end{array} \right.\)

B. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 3t\\ y = - 5t\\ z = 1 - t \end{array} \right. \vee \Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 13t\\ y = 5t\\ z = 1 + 11t \end{array} \right.\)

C. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 3t\\ y = 5t\\ z = 1 - t \end{array} \right. \vee \Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 13t\\ y = 5t\\ z = 1 - 11t \end{array} \right.\)

D. \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 3t\\ y = - 5t\\ z = 1 - t \end{array} \right. \vee \Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 13t\\ y = 5t\\ z = 1 - 21t \end{array} \right.\)

Lời giải

\(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=26\Rightarrow \left( S \right)\) có tâm \(I\left( 2;-1;-3 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{26}.\)

\(\overrightarrow{IM}=\left( 3;1;4 \right),\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;0;1 \right)\) là 1 VTVP của \(\left( d \right)\)

Giả sử \(\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( a;b;c \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng  \(\Delta \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)\)

Do tiếp xúc mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(M\Rightarrow \overrightarrow{IM}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow 3a+b+4c=0\Leftrightarrow b=-3a-4c\,\,\left( 1 \right)\)

Mà góc giữa đường thẳng \(\Delta \)  và đường thẳng \(d\) bằng \(\varphi .\)

\(\Rightarrow \left| \text{cos}\left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=c\text{os}\varphi \Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}=\frac{1}{\sqrt{7}}\Leftrightarrow \frac{\left| 2a+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{7}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\sqrt{7}\left| 2a+c \right|=\sqrt{5}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 3a+4c \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\Leftrightarrow 7\left( 4{{a}^{2}}+4ac+{{c}^{2}} \right)=5\left( {{a}^{2}}+9{{a}^{2}}+24ac+16{{c}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 22{a^2} + 92ac + 78{c^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 3c\\ a = - \frac{{13}}{{11}}c \end{array} \right.\)

Với \(a=-3c\) do \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0\) nên chọn \(c=-1\Rightarrow a=3;b=-5\)

⇒ phương trình đường thẳng là: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 3t\\ y = - 5t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\)

Với \(a=-\frac{13}{11}c\) do \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0\) nên chọn \(c=-11\Rightarrow a=13;b=5\)

⇒ phương trình đường thẳng là: \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 13t\\ y = 5t\\ z = 1 - 11t \end{array} \right.\)

Chọn A.

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{Ox}yz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-2}.\) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng \(d\) sao cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm M tiếp xúc với trục \(Oz\) có bán kính bằng 2.

A. \(M\left( 2;0;-2 \right)\vee M\left( \frac{6}{5};-\frac{8}{5};\frac{2}{5} \right)\)   

B. \(M\left( 2;0;2 \right)\vee M\left( \frac{6}{5};\frac{8}{5};\frac{2}{5} \right)\)

C . \(M\left( 2;0;-2 \right)\vee M\left( \frac{7}{5};-\frac{8}{5};\frac{4}{5} \right)\)

D. \(M\left( 4;0;-2 \right)\vee M\left( \frac{6}{5};-\frac{8}{5};\frac{2}{5} \right)\)

Lời giải

Vì \(M\in d\Rightarrow M\left( 1+t;-2+2t;-2t \right).\) Trục \(Oz\) đi qua điểm \(\text{O}\left( 0;0;0 \right)\) và có vtcp \(\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right);\)

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {OM} = \left( {1 + t; - 2 + 2t; - 2t} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow k } \right] = \left( { - 2 + 2t; - 1 - t;0} \right)\\ \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow k } \right]} \right| = \sqrt {5{t^2} - 6t + 5} \end{array}\)

Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) , ta có : \(R=d\left( M;Oz \right)=\sqrt{5{{t}^{2}}-6t+5}\)

\(R = 2 \Rightarrow \sqrt {5{t^2} - 6t + 5} = 2 \Rightarrow 5{t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{1}{5} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} M\left( {2; - 2;0} \right)\\ M\left( {\frac{6}{5}; - \frac{8}{5};\frac{2}{5}} \right) \end{array} \right.\)

Chọn A.

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{Ox}yz,\) cho hai đường thẳng \({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}\) có phương trình: \({{\Delta }_{1}}:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{2};{{\Delta }_{2}}:\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{-1}\) . Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng \({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}?\)

A. \({{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=6\)  

B. \({{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}-{{z}^{2}}=6\)

C . \({{x}^{2}}-{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=6\)

D. \({{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=6\)

Lời giải          

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng \({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}\) là mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của \({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}\) làm đường kính. Giả sử mặt cầu cần lập là \(\left( S \right)\) và \(A,B\) lần lượt là tiếp điểm của \(\left( S \right)\) với \({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}\). Viết phương trình \({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}\) dưới dang tham số thì ta có:

\(A\left( 2+m;1+4m;1+2m \right),B\left( -2+n;3+n;-1-n \right)\)

Do AB là đoạn vuông góc chung  của \({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}\) nên:

\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{U_{{\Delta _1}}}} = 0\\ \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{U_{{\Delta _2}}}} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3n - 21m = 0\\ 3n - m = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = n = 0 \Rightarrow A\left( {2;1;1} \right),B\left( { - 2;3; - 1} \right)\)

Trung điểm \(I\) của AB có tọa độ là \(I\left( 0;2;0 \right)\)nên phương trình mặt cầu cần lập là: \({{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=6\)

Chọn A.

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{Ox}yz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0.\)

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa trục \(\text{Ox}\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.

A. \(\left( P \right):y-2z=0\)              

B. \(\left( P \right):x-2z=0\)                

C . \(\left( P \right):y+2z=0\)                        

D. \(\left( P \right):x+2z=0\)

Lời giải

\(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;-2;-1 \right)\) và bán kính \(R=3.\)

\(\left( P \right)\) chứa trục \(\text{Ox}\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính bằng 3 nên \(\left( P \right)\) chứa \(\text{Ox}\) và đi qua tâm \(I\) của mặt cầu.

Ta có: \(\overrightarrow{OI}\left( 1;-2;-1 \right),\left( P \right)\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i},\overrightarrow{OI} \right]=\left( 0;-1;-2 \right)\) và \(\left( P \right)\) qua \(O.\)

Vậy \(\left( P \right):y-2z=0.\)

Chọn A.

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề mặt cầu trong không gian Oxyz. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề mặt phẳng trong không gian Oxyz

• Chuyên đề đường thẳng trong không gian Oxyz

Chúc các em học tập tốt!