Chuyên đề bài toán lãi kép liên tục – công thức tăng trưởng mũ - ứng dụng trong lĩnh vực đời sống xã hội

1. Bài toán lãi kép liên tục

Ta đã biết: nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là \({{P}_{0}}\) với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép thì sau \(n\) năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là \({{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{n}}\)

Giả sử ta chia mỗi năm thành \(m\) kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là \(r\)thì lãi suất mỗi kì là \(\frac{r}{m}\) và số tiền thu được \(n\) năm là (hay sau \(nm\)kì) là \({{P}_{0}}{{\left( 1+\frac{r}{m} \right)}^{m.n}}\)

Hiển nhiên khi tăng số kì \(m\) trong một năm thì số tiền thu được sau \(n\) năm cũng tăng theo. Tuy nhiên như ta thấy sau đây, nó không thể tăng lên vô cực được.

Thể thức tính lãi khi \(m\to +\infty \) gọi là thể thức lãi kép liên tục.

Như vậy với số vốn ban đầu là P_o với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì ta chứng minh được rằng sau năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là:

\({{P_n} = {P_0}{e^{nr}}}\) (6)

Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.

Ví dụ 1: Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: \(S = 100.{e^{2 \times 8\% }} \approx 117,351087\) triệu đồng.

Nhiều bài toán, hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) của tự  nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng trưởng dân số, cũng được tính theo công thức (6). Vì vậy công thức (6) còn được gọi là công thức tăng trưởng(suy giảm) mũ.

Để hiểu rõ hơn về công thức tăng trưởng(suy giảm) mũ. Các em qua phần tiếp theo của tài liệu.

2. Bài toán về dân số

Gọi:

• \({{P}_{0}}\) là dân số của năm lấy làm mốc tính.

• \({{P}_{n}}\) là dân số sau \(n\)năm.

• \(r\) là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng năm.

Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau

• Công thức 1: \({{P_n} = {P_0}{e^{nr}}}\) dùng công thức tăng trưởng(suy giảm ) mũ.

• Công thức 2: \({{P_n} = {P_0}{{\left( {1 + r} \right)}^n}}\) dùng công thức tính lãi kép.

Ta xét một ví dụ sau: Năm 2001, dân số nước ta khoảng 78690000 người. Theo công thức tăng trưởng mũ, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm luôn là 1,7% thì ước tính dân số Việt Nam x năm sau sẽ là \(78\,690\,000.{e^{0,017x}} = 7,8\,69.{e^{0,017x}}\) (chục triệu người). Để phần nào thấy được mức độ tăng nhanh của dân số, ta xét hàm số

\(f\left( x \right)=7,8\,69.{{e}^{0,017x}}\)

Đồ thị của hàm số y = f(x) cho thấy khoảng 30 năm sau (tức là khoảng năm 2031), dân số nước ta sẽ vào khoảng 131 triệu người, tức là tăng gấp rưỡi. Chính vì vậy, các em hiểu bùng nổ dân số là khái niệm dùng rất phổ biến hiện nay, để thể hiện việc dân số tăng quá nhanh, có cơ cấu dân số trẻ, thời gian tăng gấp đôi rút ngắn. Những vấn đề đặt ra cho các nhà hoạch định chính sách như kế hoạch hóa dân số, việc làm, phân bố dân cư, nhập cư, di dân…. sao cho hợp lí.

Bài 1: Dân số nước ta năm 2014 đạt 90,7 triệu người (theo Thông cáo báo chí của ASEANstats), tỉ lệ tăng dân số là 1,06%.

a) Dự đoán dân số nước ta năm 2024 là bao nhiêu?

b) Biết rằng dân số nước ta sau m năm sẽ vượt 120 triệu người. Tìm số m bé nhất?

Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau: \({P_0} = 90700000,n = 2024 - 2014 = 10,r = 1,06\% \)

Áp dụng công thức (1): Khi đó dự đoán dân số nước ta năm 2024 là:

\({P_{10}} = 90700000 \times {e^{10 \times 1,06\% }} \approx 100.842.244\) (người)

Áp dụng công thức (2): Khi đó dự đoán dân số nước ta năm 2024 là:

\({P_{10}} = 90700000 \times {\left( {1 + 1,06\% } \right)^{10}} \approx 100.786.003\) (người) 

b) Áp dụng công thức (2) ta có:

\(\begin{array}{l} 120000000 < 90700000{\left( {1 + 1,06\% } \right)^m} \Leftrightarrow 1,{0106^m} > \frac{{1200}}{{907}}\\ \Leftrightarrow m > {\log _{1,0106}}\frac{{1200}}{{907}} \Rightarrow m \ge 27 \end{array}\)

Vậy m bé nhất bằng 27. (Tức là sau ít nhất 27 năm (từ năm 2041) dân số nước ta sẽ vượt mốc 120 triệu người).

Áp dụng công thức (1): \(120000000 < 90700000 \times {e^{m \times 1,06\% }} \Leftrightarrow {e^{0,0106m}} > \frac{{1200}}{{907}} \Leftrightarrow 0,0106m < \ln \frac{{1200}}{{907}} \Rightarrow m \ge 27\)

Vậy m bé nhất bằng 27(Tức là sau ít nhất 27 năm (từ năm 2041) dân số nước ta sẽ vượt mốc 120 triệu người).

Bài  2: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức \({P_n} = {P_0}{e^{n.r}}\), trong đó là dân số của năm lấy làm mốc tính, P_n là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm.

Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 triệu và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% . Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức \({P_n} = {P_0}{e^{n.r}} \Leftrightarrow 100000000 = 78685800.{e^{1,7\% n}} \Leftrightarrow 100 = 78,6858.{e^{1,7\% n}}\left( * \right)\)

Lấy logarit tự nhiên hai vế của (*) ta được

\(\begin{array}{l} \ln 100 = \ln \left( {78,6858.{e^{1,7\% n}}} \right) \Leftrightarrow \ln 100 = \ln 78,6858 + 1,7\% n\\ \Leftrightarrow n = \frac{{\ln 100 - \ln 78,6858}}{{1,7\% }} \approx 14 \end{array}\)

Vậy nếu cứ tăng dân số với tỉ lệ hàng năm là \(r=1,7%\) thì đến năm 2015 dân số nước ta sẽ ở mức 100 triệu người.

Bài 3: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức \({P_n} = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^n}\), trong đó P_o là dân số của năm lấy làm mốc tính, P_n là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm.

Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thế giới là không đổi trong giai đoạn 1990 – 2001. Biết răng năm 1990 dân số thế giới là 5,30 tỉ  người, năm 2000 dân số thế giới là 6,12 tỉ người. Tính dân số thế giới vào năm 2011? (Kết quả là tròn đến hai chữ số)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức \({P_n} = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^n}\), ta được

\({P_{10}} = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^{10}} \Leftrightarrow 6,12 = 5,30{\left( {1 + r} \right)^{10}} \Leftrightarrow 1 + r = \sqrt[{10}]{{\frac{{6,12}}{{5,30}}}} \Leftrightarrow r = 1,45\% \)

Dân số thế giới vào năm 2011 là: \({P_{21}} = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^{21}} = 5,30{\left( {1 + 1,45\% } \right)^{21}} = 7,17\) tỉ người.

Bài 4: Tỷ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam là 1,07%. Năm 2016, dân số của Việt Nam là 93422000 người. Hỏi với tỷ lệ tăng dân số như vậy thì năm 2026 dân số Việt Nam gần với kết quả nào nhất?

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức \({P_n} = {P_0}{e^{n.r}}\)

Với \({P_0} = 93422000,r = 1,07\% ,n = 2026 - 2016 = 10\)

Ta có dân số của Việt Nam đến năm 2026 là: \({P_{10}} = 93422000{e^{10 \times 1,07\% }} = 103972543,9\)

Bài 5: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của In – đô – nê – xia – a là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước này là 212942000 người. Hỏi dần số của In – đô – nê – xia – a vào năm 2006 gần với số nào sau đây nhất?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức \({P_n} = {P_0}{e^{n.r}}\)

Với \({P_0} = 212942000,r = 1,5\% ,n = 2006 - 1998 = 8\)

Ta có \({P_8} = 212942000{e^{1,5\%  \times }}^8 \approx 240091434,6\)

Bài 6: Biết rằng tỉ lệ giảm dân hàng năm của Nga là 0,5%. Năm 1998, dân số của Nga là 146861000 người. Hỏi năm 2008 dân số của Nga gần với số nào sau đây nhất?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức \({P_n} = {P_0}{e^{n.r}}\)

Với \({P_0} = 146861000,r =  - 0,5\% ,n = 2008 - 1998 = 10\)

Ta có \({P_{19}} = 146861000{e^{ - \,0,5\%  \times }}^{10} = 139527283,2\)

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề bài toán lãi kép liên tục – công thức tăng trưởng mũ - ứng dụng trong lĩnh vực đời sống xã hội. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề bài toán lãi đơn

• Chuyên đề bài toán lãi kép

Chúc các em học tập tốt!