Bài 4: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Ở bài trước ta đã tìm hiểu về góc nội tiếp, bài này sẽ đi sâu về khái niệm của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và các tính chất liên quan

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Khái niệm

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh của góc gồm một tia là tiếp tuyến với đường tròn, tia còn lại chứa dây cung.

Góc $\hat{B A x}$ (hoặc $\hat{B A y}$ ) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

1.2. Định lí

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn

Cụ thể ở hình trên, $\hat{B A x} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{A B}$ (ở đây là cung AB nhỏ)

1.3. Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Theo hệ quả của định lí trên: $\hat{B A x} = \hat{B C A}$

Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $A$ trên đường tròn, tiếp tuyến tại $A$ cắt đường kính $B C$ của đường tròn tại $S$ . Biết $\hat{S A B} = 30^{0}$ , tính $A C$ theo $R$ .

Hướng dẫn:

Ta có $\hat{S A B} + \hat{B A O} = 90^{0} \Rightarrow \hat{B A O} = 90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$

$△ O B A$ cân tại $O$ có $\hat{B A O} = 60^{0}$ nên $△ B A O$ đều. Suy ra $B A = O B = R$

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông $A B C$ ta có $A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = \sqrt{(2 R)^{2} - R^{2}} = \sqrt{3 R^{2}} = R \sqrt{3}$

Bài 2: Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $I$ nằm ngoài đường tròn sao cho $O I = 2 R$ . Điểm $C$ nằm trên đường tròn. Vẽ tiếp tuyến $I A$ của đường tròn, gọi $B$ là giao điểm của $O I$ và $(O)$ ( $B$ nằm giữa $O$ và $I$ ). Tính $\hat{A C B}$

Hướng dẫn:

Ta có $B I = O I - O B = 2 R - R = R$

Tam giác vuông $A O I$ có $B$ là trung điểm của $O I$ nên $B A = B O = B I = R$ suy ra $△ O B A$ đều (các cạnh đều bằng $R$ )

nên $\hat{B O A} = 60^{0} \Rightarrow \hat{A C B} = 30^{0}$

Bài 3: Cho tam giác ABC, vẽ đường tròn tâm O đi qua A và tiếp xúc với BC tại B. Kẻ dây BD song song với AC. Gọi I là giao điểm của CD với đường tròn. Chứng minh: $\hat{I A B} = \hat{I C A} = \hat{I B C}$

Hướng dẫn:

Theo hệ quả định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ta có $\hat{I A B} = \hat{I B C} = \hat{I D B}$ (cung chắn $\overset{⌢}{I B}$ )

Mặt khác, $\hat{I D B} = \hat{I C A}$ (do $B D / / A C$ )

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{I A B} = \hat{I C A} = \hat{I B C}$ (đpcm)

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho đường tròn $(O)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn, từ $M$ vẽ cát tuyến $M A B$ đến đường tròn. $C$ là điểm trên đường tròn khác $A$ và $B$ . Chứng minh rằng: $M C$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ khi và chỉ khi $M C^{2} = M A . M B$

Hướng dẫn:

Chiều thuận: $M C$ là tiếp tuyến với đường tròn suy ra $\hat{M C A} = \hat{M B C}$

Xét $△ M A C$ và $△ M C B$ có $\hat{M}$ chung và $\hat{M C A} = \hat{M B C}$ nên $△ M A C \sim △ M C B$ (g.g)

suy ra $\frac{M A}{M C} = \frac{M C}{M B} \Rightarrow M C^{2} = M A . M B$

Chiều đảo: $M C^{2} = M A . M B \Rightarrow \frac{M A}{M C} = \frac{M C}{M B}$

Xét $△ M A C$ và $△ M C B$ có $\hat{M}$ chung và $\frac{M A}{M C} = \frac{M C}{M B}$ nên $△ M A C \sim △ M C B$ (c.g.c)

suy ra $\hat{M C A} = \hat{M B C} \Rightarrow \hat{M C A} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{A C}$

Kẻ đường kính $C D$ khi đó $\hat{M C A} + \hat{A C D} = \frac{1}{2}$ $\hat{M C D} = \hat{M C A} + \hat{A C D} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{A C}$ + $\frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{A D}$ = $90^{0}$

Từ đó suy ra $M C$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

Bài 2: Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O^{'})$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O^{'})$ cắt $(O)$ tại $C$ và đối với đường tròn $(O)$ cắt $(O^{'})$ tại $D$ .

Chứng minh $A B^{2} = B D . B C$

Hướng dẫn:

Trong đường tròn $(O)$ ta có $\hat{A C B} = \hat{B A D}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chùng chắn cung $B A$ )

Tương tự trong đường tròn $(O^{'})$ ta cũng có $\hat{B D A} = \hat{B A C}$

Xét $△ C A B$ và $△ A D B$ có $\hat{A C B} = \hat{B A D}$ và $\hat{B D A} = \hat{B A C}$

nên $△ C A B \sim △ A D B$ suy ra $\frac{C B}{A B} = \frac{A B}{D B} \Rightarrow A B^{2} = B D . B C$

3. Luyện tập Bài 4 Chương 3 Hình học 9

Qua bài giảng Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :

Nắm vững định nghĩa, định lí, hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Vận dụng lý thuyết làm được một số bài tập

3.1 Trắc nghiệm về Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Khẳng định nào sau đây là sai:
- A. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
- B. Trong một đường tròn, số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
- C. Nếu góc BAx có số đo bằng nửa số đo của cung BA nằm ngoài góc đó thì Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn chứa cung AB.
- D. Với MAB là cát tuyến và T là một điểm trên đường tròn, từ hệ thức MT²=MA.MB ta suy ra MT là tiếp tuyến của đường tròn đó.
Câu 2:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I. Biết AB=20cm, AC=28cm, BC=24cm. Khi đó IA bằng bao nhiêu cm?
- A. 32cm
- B. 20cm
- C. 28cm
- D. 35cm

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online

3.2 Bài tập SGK về Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

Bài tập 27 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 28 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 29 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 30 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 31 trang 79 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 32 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 33 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 34 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 35 trang 80 SGK Toán 9 Tập 2