Bài 6: Cung chứa góc

Với đoạn thẳng $AB$ và góc $\alpha (0^0<\alpha <{180}^0)$ cho trước thì quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $\widehat{AMB}=\alpha$ là hai cung chứa góc $\alpha$ dựng trên đoạn $AB$

Chú ý:

- Hai cung chứa góc $\alpha$ nói trên là hai cung đối xứng với nhau qua $AB$

- Hai điểm $A,B$ được coi là thuộc quỹ tích

- Trường hợp $\alpha ={90}^0$ thì quỹ tích trên là hai nửa đường tròn đường kính $AB$

Áp dụng cung chứa góc vào chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn: Nếu một tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc $\alpha$ thì bốn đỉnh của tứ giác ấy cùng thuộc một đường tròn.

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất $\tau$ là một hình $H$ nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất $\tau$ đều thuộc hình $H$.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình $H$ đều có tính chất $\tau$.

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất $\tau$ là hình $H$

Nhận xét: Một bài toán quỹ tích sẽ dễ có hướng xử lí hơn khi ta dự đoán được hình $H$ trước khi bắt đầu chứng minh

Bài 1: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC,MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: bốn điểm B,C,M,K thuộc cùng một đường tròn

Hướng dẫn:

Ta đã biết MO là đường trung trực của CD nên AB là đường trung trực của CD, suy ra $\widehat{MBK}=\widehat{MBC}$

Mặt khác $\widehat{MBC}=\widehat{MCK}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CA)

Do đó $\widehat{MBK}=\widehat{MCK}$ 

Tứ giác MCBK có $\widehat{MBK}=\widehat{MCK}$ nên M,C,B,K cùng thuộc một đường tròn.

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đường chéo. Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM=OB. Trên tia OB lấy điểm M sao cho ON=OA. Chứng minh rằng: bốn điểm D,M,N,C cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn:

Xét hai tam giác $△AOB$ và $△NOM$ có $\widehat{AOB}$ chung và OA=ON; OM=OB

nên $△AOB=△NOM$(c.g.c)

suy ra $\widehat{BAO}=\widehat{MNO}$

Mặt khác do AB//CD (hình thang) nên $\widehat{BAO}=\widehat{DCO}$, từ đó suy ra $\widehat{MNO}=\widehat{DCO}$

Xét tứ giác DMNC có $\widehat{MNO}=\widehat{DCO}$ mà hai góc này cùng nhìn cạnh MD nên bốn điểm D,M,N,C cùng thuộc một đường tròn.

Bài 3: Dựng tam giác ABC, biết BC=3cm, $\hat{A}={45}^0$ và trung tuyến AM=2,5cm

Hướng dẫn: 

Trình tự dựng gồm các bước sau:

- Dựng đoạn thằng BC=3cm.

- Dựng cung chứa góc ${45}^0$ trên đoạn thẳng BC (cung BmC)

- Gọi M là trung điểm BC.

- Dựng đường tròn tâm M, bán kính 2,5cm, đường tròn này cắt cung BmC tại A và A'

Lúc đó tam giác ABC (hoặc A'BC) là tam giác thỏa yêu cầu bài toán (BC=3cm, $\hat{A}={45}^0$ và trung tuyến AM=2,5cm)

Bài 1: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA,OB vuông góc với nhau, điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ I đến OA và OB. Tìm quỹ tích các điểm M.

Hướng dẫn:

Phần thuận: Kẻ $IH\perp OA,IK\perp OB$, điểm M thuộc OI có tính chất OM=IH+IK (1)

Kẻ $BE\perp OI$. Ta có $△OBE=△OIK$ (cạnh huyền -góc nhọn) nên OE=OK=IH, BE=IK (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM=IH+IK=OE+BE và do đó EM=EB

Suy ra tam giác EMB vuông cân tại E nên $\widehat{EMB}={45}^0$. Điểm M nhìn OB cố định dới góc ${45}^0$ nên M di chuyển trên cung chứa góc ${45}^0$ dựng trên OB.

Mặt khác, vì điểm M chỉ nằm bên trong góc vuông AOB nên M chỉ di chuyển trên cung AmB, một phần của cung chứa góc ${45}^0$ dựng trên OB.

Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên cung AmB. Kẻ $BE\perp OM,IH\perp OA,IK\perp OB$ ta sẽ chứng minh OM=IH+IK

Thật vậy, ta làm ngược lại với phần thuận

Do $\widehat{OMB}={45}^0$ nên tam giác EMB vuông cân tại E, suy ra EM=EB

 $△OBE=△OIK$ (cạnh huyền -góc nhọn) nên OE=OK=IH, BE=IK. Do đó EM=IK

Vậy OM=OE+EM=IH+IK

Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M là cung AmB, một phần của cung chứa góc ${45}^0$ dựng trên đoạn OB nằm bên trong góc vuông AOB.

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách từ C đến AB.

Hướng dẫn: 

Phần thuận: Vẽ $OP\perp AB$ với P thuộc (O)

Xét $△OPD$ và $△COH$ có

OD=OH (giả thiết)

OP=OC (cùng bằng bán kính nửa đường tròn)

$\widehat{POD}=\widehat{OCH}$ (so le trong)

Nên $△OPD=△COH$ (c.g.c) suy ra $\widehat{ODP}={90}^0$

Mặt khác ta có O,P cố định nên D nằm trên đường tròn đường kính OP

Phần đảo: Lấy điểm D' bất kì nằm trên đường tròn đường kính OP, tia OD' cắt (O) tại C'. Hạ đường vuông góc C'H' xuống AB. Ta sẽ chứng minh OD'=C'H'

Thật vậy, xét hai tam giác vuông OD'P và C'H'O có cạnh huyền OP=OC' và một góc nhọn $\widehat{PO{D}^{\prime }}=\widehat{O{C}^{\prime }{H}^{\prime }}$(so le trong) 

Nên $△O{D}^{\prime }P=△C^{\prime }{H}^{\prime }O$ (cạnh huyền - góc nhọn) suy ra OD'=CH'

Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP với P là điểm chính giữa cung AB.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 6 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Khẳng định nào sau đây là sai:

  • A. Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó
  • B. Tập hợp các điểm nằm bên ngoài một góc cho trước và cách đều hai tia của góc đó là đường phân giác trong kẻ từ đỉnh của góc đó.
  • C. Tập các điểm cách điều một điểm cho trước là đường tròn với tâm là điểm đã cho
  • D. Với đoạn thẳng $AB$ và góc $\alpha (0^0<\alpha <{180}^0)$ cho trước thì quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn $\widehat{AMB}=\alpha$ là hai cung chứa góc $\alpha$ dựng trên đoạn $AB$

• Câu 2:

  Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc 120⁰ là:

  • A. Một đường tròn đi qua hai điểm A,B
  • B. Một đường thẳng song song với AB
  • C. Một cung chứa góc 120⁰ dựng trên hai điểm A,B
  • D. Hai cung chứa góc 120⁰ đối xứng nhau dựng trên hai điểm A,B

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1

Bài tập 44 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 45 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 46 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 47 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 48 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 49 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 50 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 51 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập 52 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.