Bài 16: Ước chung và bội chung

Ờ các bài trước các em đã được tìm hiểu về khái niệm ước và bội. Bài học này sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em khái niệm ước chung và bội chung, cùng với đó là phương pháp tìm ước chung lớn nhất - bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số trước khi được tìm hiểu sâu hơn ở các bài học sau.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của mọi số đó

Nếu \(\left. \begin{array}{l}a \vdots x\\b \vdots x\\c \vdots x\end{array} \right\} \Rightarrow x \in \) ƯC(a;b;c)

Ví dụ 1:

Ư(8) = {1; 2; 4; 8}

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 12}

ƯC(8; 12) = {1; 2; 4}

Nếu biểu diễn tập hợp A = Ư(8) và tập hợp B = Ư(12) thì ƯC (8;12)= \(A \cap B = {\rm{\{ }}1;2;4\} \)

Trong các ước chung của hai hay nhiều số thì có một số lớn nhất được gọi là số ước chung lớn nhất. Kí hiệu ƯCLN.

Cách tìm ƯCLN của hai hay nhiều số:

- Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

- Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

- Bước 3: Lập một tích các thừa số vừa chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.

Tích tìm được là ƯCLN cần tìm

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN (48; 168; 360).

Ta có: \(48 = {2^3}.3,\,\,\,168 = {2^3}.3.7,\,\,360\, = {2^3}{.3^2}.5\)

ƯCLN (48; 168; 360) = \({2^3}.3 = 24\)

1.2. Bội chung của hai hay nhiều số là bội tất cả các số đó.

\(\left. \begin{array}{l}x \vdots a\\x \vdots b\\x \vdots c\end{array} \right\} \Rightarrow x \in BC(a;b;c)\)

Ví dụ 3:

B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48;…}

B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; …}

BC(6 ;8) = {0; 24; 48; 72;…}

\(BC(6;8) = B(6)\,\,\, \cap \,\,B(8)\,\, = \,\,{\rm{\{ }}0;\,\,\,24;\,\,\,48;...{\rm{\} }}\)

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội của các số đó.

* Cách tìm BCNN của hai hay nhiều số:

- Bước 1: Phân tích mỗi thừa số ra thừa số nguyên tố.

- Bước 2: Chọn các thừa số chung và riêng.

- Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy số mũ lớn nhất.

Tích tìm được là BCNN cần tìm.

Ví dụ 4:

\(\begin{array}{l}84 = {2^2}.3.7\\140 = {2^2}.5.7\\360 = {2^3}{.3^2}.5\end{array}\)

\(BCNN = {2^3}{.3^2}.5.7 = 2520.\)

Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm số tự nhiên A có bốn chữ số sao cho đó chia cho 131 thì dư 112, chia cho 132 thì dư 97 nhưng chia hết cho 99.

Giải

Theo đề bài, ta có: A = 131p + 112 = 132q + 97

Hay 131p = 132q – 15 = 131q + (q – 15)

\( \Rightarrow q - 15\,\,\, \vdots \,\,\,131\,\, \Rightarrow \,\,q = 131x + 15\,\,(x \in \mathbb{N})\)

mà A = 132q + 97 = 132. (131x + 15) = 132 .131x + 1980

Vì A có bốn chữ số nên x = 0 và 1980 : 99 = 20

Vậy số cần tìm là A = 1980.

Bài 2: Cho a = 123456789; b=987654321.

a) Tìm ƯCLN của ( a; b)

b) Tìm số dư trong phép chia BCNN (a; b) cho 11.

Giải

\(a\,\,\, \vdots \,\,\,9\) và \(b\,\,\, \vdots \,\,\,9\) (vì tổng các chữ số của nó chia hết 9)

Mặt khác b – 8a = 9 nên nếu ƯC (a; b) = d thì \(9\,\, \vdots \,\,d\)

Vậy mọi ƯC của a, b đều là ƯC của 9 hay 9 = ƯCLN (a; b)

Vì \(BCNN(a;b) = \frac{{a.b}}{{UCLN(a;b)}} = \frac{{a.b}}{9} = \frac{a}{9}.b\)

Nhưng \(\frac{a}{9} = 11m + 3;\,\,\frac{b}{9} = 11n\,\, + 5.\)

Vậy BCNN (a;b) = 11p + 4

Vậy số dư cần tìm là 4.

Bài 3:

a. Tìm \(a \in {\mathbb{N}^*}\), biết \(a\,\, \vdots \,\,\,378,\,\,a\,\, \vdots \,\,594.\)

b. Tìm \(b \in {\mathbb{N}^*}\), biết \(112\,\,\, \vdots \,\,\,b;\,\,280\,\, \vdots \,\,\,b.\)

Giải

a. \(a\,\, \vdots \,\,\,378,\,\,a\,\, \vdots \,\,594\,\, \Rightarrow \,\,a\,\, = BCNN\,\,(378;\,\,594)\)

\(378 = {2.3^3}.7,\,\,594\,\, = \,{2.3^3}.11\)

Vậy a = BCNN(378; 594)

b. \(112\,\, \vdots \,\,b,\,\,280\,\, \vdots \,\,b\,\, \Rightarrow \,\) b = ƯCLN (112; 280)

\(112 = {2^4}.7,\,\,280\,\, = \,{2^3}.5.7\)

Vậy b = WCLN(112; 280) = \({2^3}.7 = 56.\)

3. Luyện tập Bài 16 Chương 1 Số học 6 Tập 1

Qua bài giảng Ước chung và bội chung này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :

Hình thành khái niệm ươc chung, bội chung
Cách tìm ước chung, bội chung của hai hay nhiều số

3.1 Trắc nghiệm Ước chung và bội chung

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 6 Bài 16 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Tìm tập hợp các bội chung của 15 và 18 nhỏ hơn 200
- A. \(A = \left\{ {0;45;90;120} \right\}\)
- B. \(A = \left\{ {0;45;90;120;180} \right\}\)
- C. \(A = \left\{ {0;90;80} \right\}\)
- D. \(A = \left\{ {0;60;90;120} \right\}\)
Câu 2:
Tập hợp ƯC(4, 12) là:
- A. \(\left\{ {0;1;2;4} \right\}\)
- B. \(\left\{ {1;2;4} \right\}\)
- C. \(\left\{ {1;2;3;4} \right\}\)
- D. \(\left\{ {1;2;3;4;6} \right\}\)