36 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ TOÁN 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1. Tìm \(\lim {u_n}\) biết \({u_n} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} \)
A. \(+ \infty \)
B. \(- \infty \)
C. 3
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} < \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + k} }} < \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} }},{\rm{ }}k = 1,2,...,n\)
Suy ra \(\frac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} < {u_n} < \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}\)
Mà \(\lim \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} = \lim \frac{n}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = 1\) nên suy ra \(\lim {u_n} = 1\).
Câu 2. Tìm \(\lim {u_n}\) biết \({u_n} = \underbrace {\sqrt {2\sqrt {2...\sqrt 2 } } }_{n{\rm{ dấu căn}}}\)
A. \(+ \infty \)
B. \(- \infty \)
C. 2
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: \({u_n} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}}} = {2^{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}\)
Nên \(\lim {u_n} = \lim {2^{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = 2\).
Câu 3. Tìm giá trị đúng của \(S = \sqrt 2 \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + .......} \right)\).
A. \(\sqrt 2 + 1\).
B. 2.
C. \(2\sqrt 2 \).
D. 1/2.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: \(S = \sqrt 2 \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + .......} \right) = \sqrt 2 .\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\sqrt 2 \).
Câu 4. Tính giới hạn \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right]\)
A. 0.
B. 1.
C. 1,5.
D. Không có giớihạn.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt : \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\)
\(= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\)
\(= 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}\)
\( \Rightarrow \lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{n + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + \frac{1}{n}}} = 1\)
Câu 5. Tính \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}} \right]\)
A. 1.
B. 0.
C. 2/3.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt \(A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2A = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + .... + \frac{2}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\\ \Rightarrow 2A = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{2n + 1}}\\ \Rightarrow 2A = 1 - \frac{1}{{2n + 1}} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\\ \Rightarrow A = \frac{n}{{2n + 1}} \end{array}\)
Nên \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + .... + \frac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{2n + 1}} = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{2}.\)
Câu 6. Tính giới hạn: \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\)
A. \(\frac34\).
B. 1.
C. 0.
D. \(\frac23\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có : \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right] = \lim \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{2.4}} + .... + \frac{2}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\)
\(= \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}} \right)\)
\(= \lim \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{3}{4}.\)
Câu 7. Tính giới hạn \(\lim \left[ {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n(n + 3)}}} \right]\).
A. \(\frac{{11}}{{18}}\).
B. 2.
C. 1.
D. \(\frac{3}{2}\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1:
\(\lim \left[ {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n(n + 3)}}} \right] \\= \lim \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]\)
\(= \lim \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]\)
\(= \frac{{11}}{{18}} - \lim \left[ {\frac{{3{n^2} + 12n + 11}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}} \right] = \frac{{11}}{{18}}\)
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(C = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\rm{[}}\sqrt[n]{{(x + {a_1})(x + {a_2})...(x + {a_n})}} - x{\rm{]}}\) và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Câu 8. Tính giới hạn: \(\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\).
A. 1.
B. \(\frac12\).
C. \(\frac14\).
D. \(\frac32\).
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1:
\(\lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\\ = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \right]\)
\(\Rightarrow {y^n} - {x^n} = (y - x)({y^{n - 1}} + {y^{n - 1}}x + ... + {x^{n - 1}})\)
\( \Rightarrow y - x = \frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 1}}x + ... + {x^{n - 1}}}}\)
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{y^n} - {x^n}}}{{{y^{n - 1}} + {y^{n - 2}}x + ... + {x^{n - 1}}}}\) và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Câu 9. Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = (1 - \frac{1}{{{T_1}}})(1 - \frac{1}{{{T_2}}})...(1 - \frac{1}{{{T_n}}})\) trong đó \({T_n} = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
A. \( + \infty \).
B. \(- \infty \).
C. \(\frac13\).
D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: \(1 - \frac{1}{{{T_k}}} = 1 - \frac{2}{{k(k + 1)}} = \frac{{(k - 1)(k + 2)}}{{k(k + 1)}}\)
Suy ra \({u_n} = \frac{1}{3}.\frac{{n + 2}}{n} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{1}{3}\).
Câu 10. Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}....\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}}\).
A. \( + \infty \).
B. \(- \infty \).
C. \(\frac23\).
D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có \(\frac{{{k^3} - 1}}{{{k^3} + 1}} = \frac{{(k - 1)({k^2} + k + 1)}}{{(k + 1)[{{(k - 1)}^2} + (k - 1) + 1]}}\)
Suy ra \( \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{3}.\frac{{{n^2} + n + 1}}{{(n - 1)n}} \Rightarrow \lim {u_n} = \frac{2}{3}\)
{-- Để xem nội dung đầy đủ của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}
Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu 36 bài tập trắc nghiệm về Giới hạn dãy số Toán 11 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Chúc các em học tốt!
