Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về Thể tích khối tròn xoay Toán 12 có đáp án

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY TOÁN 12

Quay quanh trục Ox                                      Quay quanh trục Oy

Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox là: \({{V_{{\rm{Ox}}}} = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} }\). 

Chú ý: Hàm số \(y = f\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) và liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Dạng 2: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y = a và y = b (a < b) quay xung quanh trục Oy là: \({{V_{{\rm{Oy}}}} = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( y \right)} \right]}^2}dy} }\).                                                      

Chú ý: Hàm số \(x = f\left( y \right) \ge 0{\rm{ }}\forall y \in \left[ {a;b} \right]\) và liên tục trên đoạn [a;b].

Dạng 3: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục, cùng dấu trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng x = a và x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là: \({{{\rm{V}}_{Ox}} = \pi \int\limits_a^b {\left| {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2} - {{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}} \right|dx} }\)

Dạng 4: Cho hai hàm số x = f(y) và x = g(y) liên tục, cùng dấu trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng y = a và y = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là: \({{{\rm{V}}_{Oy}} = \pi \int\limits_a^b {\left| {{{\left[ {f\left( y \right)} \right]}^2} - {{\left[ {g\left( y \right)} \right]}^2}} \right|dx} }\)

Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:

1. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = f(x)}\\ {y = 0}\\ {x = a;x = b} \end{array}} \right.\) quanh Ox một vòng là : \({V_{{\rm{Ox}}}} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} .dx\).

2. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = f(x)}\\ {y = g(x)}\\ {x = a;x = b} \end{array}} \right.\) quanh Ox một vòng là : \({V_{{\rm{Ox}}}} = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|} .dx\).

3. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = f(y)}\\ {x = 0}\\ {y = a;y = b} \end{array}} \right.\) quanh Oy một vòng là : \({V_{Oy}} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)} .dy\).

4. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = f(y)}\\ {x = g(y)}\\ {y = a;y = b} \end{array}} \right.\) quanh Oy một vòng là : \({V_{Oy}} = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( y \right)} \right|} .dy\).

BÀI TẬP

Câu 1. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( \(1 \le x \le 3\)) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và \(\sqrt {3{x^2} - 2} \).

A. \(V = 32 + 2\sqrt {15} \)

B. \(V = \frac{{124\pi }}{3}\)

C. \(V = \frac{{124}}{3}\)

D. \(V = (32 + 2\sqrt {15} )\pi \)

Câu 2. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a và x  b (a < b), biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x \ \left( {a \le x \le b} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước là f(x) và g(x).

A. \(V = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} .dx\)

B. \(V = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right)} .dx\)

C. \(V = \int\limits_a^b {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} dx\)

D. \(V = 2\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} .dx\)

Câu 3. Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt x\), y = 0 và x = 4 quanh trục Ox. Đường thẳng \(x = a\,\,\left( {0 < a < 4} \right)\) cắt đồ thị hàm \(y = \sqrt x \) tại M (hình vẽ bên). Gọi V₁ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V = 2V₁. Khi đó

A. a = 2

B. \(a = 2\sqrt 2 \)

C. \(a=\frac52\)

D. a = 3

Câu 4. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 4} \right){e^x}\), trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.

A. \(V = \frac{{{e^8} - 39}}{4}\)

B. \(V = \frac{{{e^8} - 41}}{4}\)

C. \(V = \frac{{\left( {{e^8} - 39} \right)\pi }}{4}\)

D. \(V = \frac{{\left( {{e^8} - 41} \right)\pi }}{4}\)

Câu 5. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh Ox với (H) được giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4x - {x^2}} \) và trục hoành.

A. \(\frac{{35\pi }}{3}\)

B. \(\frac{{31\pi }}{3}\)

C. \(\frac{{32\pi }}{3}\)

D. \(\frac{{34\pi }}{3}\)

---Để xem nội dung từ câu 6 đến câu 34 của tài liệu các em vui lòng xem online hoặc tải về máy---

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về Thể tích khối tròn xoay Toán 12 có đáp án. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!