Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác

1. Phương pháp

Vì y'=0 tại vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên R.

Ta sẽ chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên R bằng định nghĩa.

Với x1,x2R, x1<x2, khi đó luôn tồn tại khoảng (a;b) chứa x1,x2

Do y'=0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) y(x1)>y(x2) hàm số nghịch biến trên R.

Chú ý:

- Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác chúng ta cần lưu ý là đạo hàm của hàm số có thể triệt tiêu tại vô hạn điểm. Khi đó để xét tính đơn điệu của hàm số trên TXĐ, ta sẽ chuyển về xét tính đơn điệu trên một khoảng chứa hữu hạn điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu.

- Đối với hàm đa thức nếu tất cả các hệ số không đồng thời bằng 0 thì nó chỉ triệt tiêu tại hữu hạn điểm.

Ví dụ . Chứng minh rằng hàm số : y=cos2x2x+3 nghịch biến trên R 

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có: y=2sin2x2=2(1+sin2x)0,xR và y'=0 khi x=π4+kπ,kZ. Vì y'=0 tại vô hạn điểm nên chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên R.

Với x1,x2Rx1<x2, khi đó luôn tồn tại khoảng (a;b) chứa x1,x2. Do y'=0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi đó y(x1)>y(x2) hàm số nghịch biến trên R.

2. Bài tập

Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1. y=2sinx+cos2x với x[0;π].

2. y=sin2x2cosx2x với x(π2;π2).

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y=sin2x2x+1 luôn nghịch biến trên R.

Bài 3: Chứng minh rằng hàm số y=3sinxcosx+2x1 luôn đồng biến trên R.

Bài 4: Tìm m để hàm số y=2x+msinx1 đồng biến trên R.

Bài 5: Tìm m để hàm số y=2cos2x+mx3 đồng biến trên R.

Bài 6: Tìm tham số m để hàm số: y=mx+sinx+14sin2x+19sin3x đồng biến trên R.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1. Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0;π]

Ta có: y=2cosx(12sinx).

Ta cần tìm nghiệm của phương trình y'=0 trên khoảng (0;π)

y=0x(0;π):[cosx=0sinx=12x=π2,x=π6,x=5π6.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng (0;π6)(π2;5π6), nghịch biến trên các khoảng (π6;π2)(5π6;π)

2. Hàm số đã cho xác định trên khoảng (π2;π2)

Ta có: y=2cos2x+2sinx2=2(12sin2x)+2sinx2

y=2sinx(2sinx1)

Trên khoảng  (π2;π2): y'=0

{x(π2;π2)2sinx(2sinx1)=0

[x=0x=π6

Hàm số giảm trên các khoảng (π2;0),(π6;π2) và tăng trên khoảng (0;π6)

Bài 2

Ta có: y=2cos2x2=2(cos2x1)0 xR

y=0x=π4+kπ2, kZ

Vì y'=0 tại vô hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến trên R

Ta sẽ chứng minh hàm số luôn nghịch biến trên R bằng định nghĩa.

Với x1,x2R, x1<x2, khi đó luôn tồn tại khoảng (a;b) chứa x1,x2

Do y'=0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) y(x1)>y(x2) hàm số nghịch biến trên R

Bài 3: Ta có: y=3cosx+sinx+2=2cos(xπ6)+20. Hàm số đồng biến trên R

Bài 4: Ta có: y=2+mcosx

* Nếu \(-2

* Với |m|>2, khi đó y' nhận cả giá trị âm lẫn dương trên R nên hàm số không thể đồng biến trên R. Vậy |m|2 là những giá trị cần tìm.

Bài 5: Ta có: y=4sin2x+m

Hàm số đồng biến trên Ry0m4sin2x xR, tìm được m4

Bài 6: Ta có y=m+cosx+12cos2x+13cos3x. Hàm đồng biến trên Ry0,xR

m+cosx+12cos2x+13cos3x,xR

m43t3t2+12=g(t),t[1,1] với t=cosx,t[1,1]

Bài toán trở thành tìm m để tồn tại mmaxx[1,1]g(t)

g(t)=4t22t=2t(2t+1)g(t)=0t=12,t=0

Lập bảng biến thiên ta thấy maxx[1,1]g(t)=g(1)=56m56

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

Chúc các em học tập tốt!

 

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?