Phương pháp viết tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm cho trước

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y=f\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\)

Cách 1:

- Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng : \(y=k\left( x-{{x}_{1}} \right)+{{y}_{1}}\)

- \(\left( d \right)\) tiếp xúc với đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) khi hệ: \(\left\{ \begin{align} & f\left( {{x}_{0}} \right)=k\left( {{x}_{0}}-{{x}_{1}} \right)+{{y}_{1}} \\ & f'\left( {{x}_{0}} \right)=k \\ \end{align} \right.\) có nghiệm \({{x}_{0}}\) 

Cách 2:

- Gọi \(N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và tiếp tuyến \(\left( d \right)\) qua điểm M, nên \(\left( d \right)\) cũng có dạng \(y=y{{'}_{0}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)

- \(\left( d \right)\) đi qua điểm M nên có phương trình : \({{y}_{1}}=y{{'}_{0}}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\mathsf{ }\left( * \right)\)

- Từ phương trình \(\left( * \right)\) ta tìm được tọa độ điểm \(N\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\), từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\)

Ví dụ 1: 1. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{3{{x}^{2}}}{4}-x\), biết d song song đường thẳng x+y-8=0. 2. Cho hàm số \(y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\) có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm \(A\left( \frac{19}{12};4 \right)\) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Cách 1: Tiếp tuyến d song song với đường thẳng x+y-8=0 nên d có dạng y=-x+b. 

d tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}\) khi và chỉ khi hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & \frac{x_{0}^{3}}{3}+\frac{3x_{0}^{2}}{4}-{{x}_{0}}=-{{x}_{0}}+b\mathsf{ }\left( 1 \right) \\ & x_{0}^{2}+\frac{3{{x}_{0}}}{2}-1=-1\mathsf{ }\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\) có nghiệm \({{x}_{0}}\).

Phương trình \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow 2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}=0 \Leftrightarrow {{x}_{0}}=0\) hoặc \({{x}_{0}}=-\frac{3}{2}\).

Với \({{x}_{0}}=0\) thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\), ta được b=0 khi đó d: y=-x.

Với \({{x}_{0}}=-\frac{3}{2}\) thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\), ta được \(b=\frac{9}{16}\) khi đó d: y=-x+\frac{9}{16}\)

Cách 2: Gọi \(\left( {{x}_{0}};y\left( {{x}_{0}} \right) \right)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và \(\left( C \right)\), với \(y\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{x_{0}^{3}}{3}+\frac{3x_{0}^{2}}{4}-{{x}_{0}}\), tiếp tuyến  d có hệ số góc \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=x_{0}^{2}+\frac{3{{x}_{0}}}{2}-1\)

\(d\mathsf{ }||\mathsf{ }x+y-8=0\Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=-1\) tức \(x_{0}^{2}+\frac{3{{x}_{0}}}{2}-1=-1\) hay nghiệm \({{x}_{0}}=0\) hoặc \({{x}_{0}}=-\frac{3}{2}\). Phần còn lại giành cho bạn đọc.

2. Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Ta có: \(y'=6{{x}^{2}}-6x\)

Gọi \(M({{x}_{0}};{{y}_{0}})\in (C)\Leftrightarrow {{y}_{0}}=2x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+5\) và \(y'({{x}_{0}})=6x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}\)

 Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có dạng: \(y-{{y}_{0}}=y'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})\)

\(\Leftrightarrow y-(2x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+5)=(6x_{0}^{2}-6{{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})\Leftrightarrow y=(6x_{0}^{2}-6{{x}_{0}})x-4x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+5\)

\(A\in \Delta \Leftrightarrow 4=(6x_{0}^{2}-6{{x}_{0}}).\frac{19}{12}-4x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+5\Leftrightarrow 8x_{0}^{3}-25x_{0}^{2}+19{{x}_{0}}-2=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1\) hoặc \({{x}_{0}}=2\) hoặc \({{x}_{0}}=\frac{1}{8}\)

Với \({{x}_{0}}=1\Rightarrow \Delta :y=4\)

Với \(\,{{x}_{0}}=2\Rightarrow \Delta :y=12x-15\,\)

Với \(\,{{x}_{0}}=\frac{1}{8}\Rightarrow \Delta :y=-\frac{21}{32}x+\frac{645}{128}\)

Ví dụ 2 : 1. Cho hàm số \(y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\frac{3}{2}\) có đồ thị là \(\left( \text{C} \right).\) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( \text{C} \right)\) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm \(M\left( 0;\frac{3}{2} \right)\) 2. Cho hàm số: \(y=\frac{x+2}{x-1}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( 0;m \right)\). Xác định m để từ A  kẻ được 2 tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\)  sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục \(\text{Ox}\)

Lời giải.

1. Đường thẳng x=0 đi qua điểm \(M\left( 0;\frac{3}{2} \right)\) không phải là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( \text{C} \right)\)

d là đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 0;\frac{3}{2} \right)\) có hệ số góc k có phương trình \(y=kx+\frac{3}{2}\)

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( \text{C} \right)\) tai điểm có hoành độ là \({{x}_{0}}\) thì \({{x}_{0}}\) là nghiệm của hệ phương trình : \(\left\{ \begin{align} & \frac{1}{2}x_{0}^{4}-3x_{0}^{2}+\frac{3}{2}=k{{x}_{0}}+\frac{3}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 2x_{0}^{3}-6{{x}_{0}}=k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathsf{ }\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\,\left( 1 \right)\) rồi rút gọn ta được \(x_{0}^{2}\left( x_{0}^{2}-2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=0\) hoặc \({{x}_{0}}=\pm \sqrt{2}\)

Khi \({{x}_{0}}=0\) thì k=0 lúc đó phương trình tiếp tuyến là \(y=\frac{3}{2}\)

Khi \({{x}_{0}}=-\sqrt{2}\) thì \(k=2\sqrt{2}\) lúc đó phương trình tiếp tuyến là \(y=2\sqrt{2}x+\frac{3}{2}\)

Khi \({{x}_{0}}=\sqrt{2}\) thì \(k=-2\sqrt{2}\) lúc đó phương trình tiếp tuyến là \(y=-2\sqrt{2}x+\frac{3}{2}\)

Vậy, có ba tiếp tuyến là \(y=\frac{3}{2},  y=2\sqrt{2}x+\frac{3}{2}, y=-2\sqrt{2}x+\frac{3}{2}\)

2. Cách 1: Gọi điểm \( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m \le 1\) Tiếp tuyến \(\Delta \) tại M của (C) có phương trình :

\(m{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=3{{x}_{0}}+\left( {{x}_{0}}+2 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)=0\) (với \({{x}_{0}}\ne 1\)) \(\Leftrightarrow \left( m-1 \right)x_{0}^{2}-2\left( m+2 \right){{x}_{0}}+m+2=0\) \(\left( * \right)\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm a,b khác 1 sao cho

\(\frac{\left( a+2 \right)\left( b+2 \right)}{\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)}=\frac{ab+2\left( a+b \right)+4}{ab-\left( a+b \right)+1}<0\) hay là: \(\left\{ \begin{align} & m\ne 1 \\ & m>-\frac{2}{3} \\ \end{align} \right.\)

Vậy \( - \frac{2}{3} < m \ne 1\)

Cách 2:  Đường thẳng d đi qua A, hệ số góc k có phương trình: y=kx+m.

d tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}} \Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}=k{{x}_{0}}+m \\ & \frac{-3}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}=k\text{ } \\ \end{align} \right.\) có nghiệm \({{x}_{0}}\).

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc:

\(\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}=\frac{-3x}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}+m\Leftrightarrow \left( m-1 \right)x_{0}^{2}-2\left( m+2 \right){{x}_{0}}+m+2=0 \left( * \right)\)

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta '=3\left( m+2 \right)>0 \\ & m\ne 1 \\ & m-1-2\left( m+2 \right)+m+2\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>-2 \\ & m\ne 1 \\ \end{align} \right.\text{ }\left( i \right)\)

Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: \({{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\text{ }{{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) với x₁,x₂ là nghiệm của \(\left( * \right)\) và \({{y}_{1}}=\frac{{{x}_{1}}+2}{{{x}_{1}}-1};\text{ }{{y}_{2}}=\frac{{{x}_{2}}+2}{{{x}_{2}}-1}\)

Để M₁, M₂ nằm về hai phía \(\text{Ox}\) thì \({{y}_{1}}.{{y}_{2}}<0\Leftrightarrow \frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1}<0\text{  }\left( 1 \right)\)

Áp dụng định lí Viet:\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( m+2 \right)}{m-1};\text{  }{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m+2}{m-1}\)

\(\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{9m+6}{-3}<0\Leftrightarrow m>-\frac{2}{3}\)

Kết hợp với \(\left( i \right)\) ta được \( - \frac{2}{3} < m \ne 1\)

Bài 1: Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x\) có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm \(A\left( \frac{4}{9};\frac{4}{3} \right)\) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Bài 2: Cho hàm số \(y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\frac{3}{2}\) (C). Tìm phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( 0;\frac{3}{2} \right)\) và tiếp xúc với đồ thị (C).

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( \text{C} \right):\)

1. \(y=\frac{x_{{}}^{3}}{3}+x_{{}}^{2}+3x-1\) đi qua điểm \(A\left( 0;\frac{1}{3} \right)\)

2. \(y=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-3\) đi qua điểm cực tiểu của đồ thị.

3. \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\) đi qua điểm \(A\left( \frac{23}{9};-2 \right)\)

4. \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+4\) đi qua điểm \(M\left( -4;-24 \right).\)

Bài 4:

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x-2}\), biết tiếp tuyến đi qua điểm M(6;4).

2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị \(\left( C \right)\): y=\frac{x+2}{x-2}\), biết  d đi qua điểm \(A\left( -6;5 \right).\)

3. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+11\ \) có đồ thị là \(\left( C \right).\) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm \(I\left( \frac{29}{3};184 \right).\)

Bài 5: Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2\)

1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9x – 7 .

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(- 2;7).

Bài 6: Cho hàm số \(y={{(2-x)}^{2}}{{x}^{2}}\), có đồ thị (C).

 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Parabol \(y={{x}^{2}}\)

 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;0).

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: \(\Delta :y=3x,y=\frac{4}{3},y=-\frac{5}{9}x+\frac{128}{81}\)

Bài 2: \(\Delta :y=\frac{3}{2},y=-2\sqrt{2}x+\frac{3}{2},y=2\sqrt{2}x+\frac{3}{2}\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp viết tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm cho trước. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ điểm

Chúc các em học tập tốt!