Phương pháp viết tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm cho trước

1. Phương pháp 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):y=f(x) đi qua điểm M(x1;y1)

Cách 1:

- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng : y=k(xx1)+y1

- (d) tiếp xúc với đồ thị (C) tại N(x0;y0) khi hệ: {f(x0)=k(x0x1)+y1f(x0)=k có nghiệm x0 

Cách 2:

- Gọi N(x0;y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) và tiếp tuyến (d) qua điểm M, nên (d) cũng có dạng y=y0(xx0)+y0

- (d) đi qua điểm M nên có phương trình : y1=y0(x1x0)+y0()

- Từ phương trình () ta tìm được tọa độ điểm N(x0;y0), từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng (d)

Ví dụ 1:

1. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C):y=x33+3x24x, biết d song song đường thẳng x+y-8=0.

2. Cho hàm số y=2x33x2+5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(1912;4) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định D=R

Cách 1: Tiếp tuyến d song song với đường thẳng x+y-8=0 nên d có dạng y=-x+b. 

d tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hệ phương trình {x033+3x024x0=x0+b(1)x02+3x021=1(2) có nghiệm x0.

Phương trình (2)2x02+3x0=0x0=0 hoặc x0=32.

Với x0=0 thay vào phương trình (1), ta được b=0 khi đó d: y=-x.

Với x0=32 thay vào phương trình (1), ta được b=916 khi đó d: y=-x+\frac{9}{16}\)

Cách 2: Gọi (x0;y(x0)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và (C), với y(x0)=x033+3x024x0, tiếp tuyến  d có hệ số góc y(x0)=x02+3x021

d||x+y8=0y(x0)=1 tức x02+3x021=1 hay nghiệm x0=0 hoặc x0=32. Phần còn lại giành cho bạn đọc.

2. Hàm số đã cho xác định D=R

Ta có: y=6x26x

Gọi M(x0;y0)(C)y0=2x033x02+5y(x0)=6x026x0

 Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có dạng: yy0=y(x0)(xx0)

y(2x033x02+5)=(6x026x0)(xx0)y=(6x026x0)x4x03+3x02+5

AΔ4=(6x026x0).19124x03+3x02+58x0325x02+19x02=0x0=1 hoặc x0=2 hoặc x0=18

Với x0=1Δ:y=4

Với x0=2Δ:y=12x15

Với x0=18Δ:y=2132x+645128

Ví dụ 2 :

1. Cho hàm số y=12x43x2+32 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(0;32)

2. Cho hàm số: y=x+2x1 có đồ thị là (C) và điểm A(0;m). Xác định m để từ A  kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox

Lời giải.

1. Đường thẳng x=0 đi qua điểm M(0;32) không phải là tiếp tuyến của đồ thị (C)

d là đường thẳng đi qua điểm M(0;32) có hệ số góc k có phương trình y=kx+32

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tai điểm có hoành độ là x0 thì x0 là nghiệm của hệ phương trình : {12x043x02+32=kx0+32(1)2x036x0=k(2)

Thay (2) vào (1) rồi rút gọn ta được x02(x022)=0x0=0 hoặc x0=±2

Khi x0=0 thì k=0 lúc đó phương trình tiếp tuyến là y=32

Khi x0=2 thì k=22 lúc đó phương trình tiếp tuyến là y=22x+32

Khi x0=2 thì k=22 lúc đó phương trình tiếp tuyến là y=22x+32

Vậy, có ba tiếp tuyến là y=32,y=22x+32,y=22x+32

2. Cách 1: Gọi điểm 12<m1 Tiếp tuyến Δ tại M của (C) có phương trình :

m(x01)2=3x0+(x0+2)(x01)=0 (với x01) (m1)x022(m+2)x0+m+2=0 ()

Yêu cầu bài toán () có hai nghiệm a,b khác 1 sao cho

(a+2)(b+2)(a1)(b1)=ab+2(a+b)+4ab(a+b)+1<0 hay là: {m1m>23

Vậy 23<m1

Cách 2:  Đường thẳng d đi qua A, hệ số góc k có phương trình: y=kx+m.

d tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x0 hệ {x0+2x01=kx0+m3(x01)2=k  có nghiệm x0.

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc:

x0+2x01=3x(x01)2+m(m1)x022(m+2)x0+m+2=0()

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì () có hai nghiệm phân biệt khác 1

{Δ=3(m+2)>0m1m12(m+2)+m+20

{m>2m1 (i)

Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: M1(x1;y1), M2(x2;y2) với x1,x2 là nghiệm của ()y1=x1+2x11; y2=x2+2x21

Để M1, M2 nằm về hai phía Ox thì y1.y2<0x1x2+2(x1+x2)+4x1x2(x1+x2)+1<0 (1)

Áp dụng định lí Viet:x1+x2=2(m+2)m1; x1x2=m+2m1

(1)9m+63<0m>23

Kết hợp với (i) ta được 23<m1

2. Bài tập

Bài 1: Cho hàm số y=13x32x2+3x có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(49;43) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Bài 2: Cho hàm số y=12x43x2+32 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0;32) và tiếp xúc với đồ thị (C).

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

1. y=x33+x2+3x1 đi qua điểm A(0;13)

2. y=x4+4x23 đi qua điểm cực tiểu của đồ thị.

3. y=x33x2+2 đi qua điểm A(239;2)

4. y=x32x2+x+4 đi qua điểm M(4;24).

Bài 4:

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x22x+1x2, biết tiếp tuyến đi qua điểm M(6;4).

2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): y=\frac{x+2}{x-2}\), biết  d đi qua điểm A(6;5).

3. Cho hàm số y=x33x29x+11  có đồ thị là (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm I(293;184).

Bài 5: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=x3+3x22

1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9x – 7 .

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(- 2;7).

Bài 6: Cho hàm số y=(2x)2x2, có đồ thị (C).

 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Parabol y=x2

 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;0).

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Δ:y=3x,y=43,y=59x+12881

Bài 2: Δ:y=32,y=22x+32,y=22x+32

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp viết tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm cho trước. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

Chúc các em học tập tốt!

Tham khảo thêm

Bình luận

Thảo luận về Bài viết

Có Thể Bạn Quan Tâm ?