Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định

B1. Tìm tập xác định của hàm số f

B2. Tính đạo hàm  f ’(x) và tìm các điểm \({{x}_{0}}\) sao cho \(f'({{x}_{0}})\)= 0 hoặc \(f'({{x}_{0}})\) không xác định .

B3. Lập bảng xét dấu f'(x),dựa vào định lí 1 ,nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số .

B4. Kết luận.

Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. \(y=\frac{2-4x}{1-x}\) 2. \(\frac{2x+1}{x+1}\)

Lời giải.

1. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có: \(y'=\frac{-2}{{{(x-1)}^{2}}}<0 \forall \text{x}\in \text{D}\),suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định .

Giới hạn \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=4\,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=4; \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \)

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (\(-\infty ;1)\) và (\(1;+\infty )\)

2. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\)

Ta có: \(y'=\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}}>0 \forall \text{x}\in \text{D}\), suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định .

Giới hạn \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2\,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2;\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (\(-\infty ;-1)\) và (\(-1;+\infty )\)

Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. \(y=\frac{{{x}^{2}}}{1-x}\) 2. \(y=\frac{-{{x}^{2}}-x+5}{x+2}\)

Lời giải.

1. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có: \(y'=\frac{-{{x}^{2}}+2x}{{{(1-x)}^{2}}}\)

\(\forall \text{x}\in \text{D:}y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\,\,,\,\,y=0 \\ & x=2\,\,,\,\,y=-4 \\ \end{align} \right.\)

Giới hạn \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty ; \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty .\)

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (\(-\infty ;0)\) và (\(2;+\infty )\);

Hàm số đồng biến trên các khoảng (0;1) và (1;2).

2. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)

Ta có: \(y'=-1-\frac{3}{{{(x+2)}^{2}}}<0 \forall \text{x}\in \text{D,}\) suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Giới hạn \(\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ; \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\,-\infty \,\,,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \,\,\)

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (\(-\infty ;-2)\) và (\(-2;+\infty )\)

Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: \(f(x)=\frac{{{x}^{3}}-4x+8}{x-2}\)

Lời giải.

Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \text{2} \right\}\)

Ta có: \(f'(x)=\frac{(3{{x}^{2}}-4)(x-2)-({{x}^{3}}-4x+8)}{{{(x-2)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}}{{{(x-2)}^{2}}}\)

\(\forall \text{x}\in \text{D:} f'(x)=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc x=3

Giới hạn: \(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ; \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty .\)

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;2 \right)\) và \(\left( 2;3 \right)\);

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 3;+\infty  \right)\)

Bài 3. Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số: 1. \(\text{y}={{\text{x}}^{\text{3}}}\text{3}{{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{4}\) 2. \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}+3x-1\)

Lời giải.

Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\)

Ta có: \(\text{y }\!\!'\!\!\text{ }=\text{3}{{\text{x}}^{\text{2}}}\text{6x}\)

\(\forall \text{x}\in \text{D:}\text{y }\!\!'\!\!\text{ }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\,\,,\,\,y(0)=4 \\ & x=2\,\,,\,\,y(2)=0 \\ \end{align} \right.\)

Giới hạn: \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( 1-\frac{3}{x}+\frac{4}{{{x}^{3}}} \right)=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\left( 1-\frac{3}{x}+\frac{4}{{{x}^{3}}} \right)=-\infty \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;\text{ }\mathbf{0})\) và \((\text{2 };+\infty )\);

Hàm số  nghịch biến trên \(\left( 0;\text{2} \right).\)

2. Tập xác định : \(\text{D}=\mathbb{R}\)

Ta có: \(\text{y }\!\!'\!\!\text{ }={{\text{x}}^{\text{2}}}+\text{2x}+\text{3}={{\left( x+1 \right)}^{2}}+2>\text{ }0 \forall \text{x}\in \text{D}\), suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Giới hạn:  \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \)

Bảng biến thiên

...

Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1. \(y=\frac{x-2}{x-1}\)

2. \(y=\frac{2x+1}{x-1}\)

2. \(y=\frac{2x-1}{x-1}\)

4. \(y=\frac{3x+1}{2+4x}\)

Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số:

1. \(y=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{x+1}\)

3. \(y=\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x-1}\)

2. \(y=\frac{4{{x}^{2}}+5x+5}{x+1}\)

4. \(y=\mathsf{ }\frac{-{{x}^{2}}+2x-1}{x+2}\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số chứa giá trị tuyệt đối, chứa căn thức

Chúc các em học tập tốt!