Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Toán 11

Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)

+ Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)

+ Bước 3: Góc ∠AOA' = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)

Lưu ý:

- Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (α) khi đó AA’ // b.

- Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA’.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√6)a/2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC) .

A. 30°               

B. 45°               

C. 60°               

D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Từ giả thiết suy ra:

SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°

Câu 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 60°               

B.90°               

C. 45°               

D. 30°

Hướng dẫn giải

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) = ∠ SAH

Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH

Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ SAH = 45°

Chọn C

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\). H là trung điểm của AB, \(SH=HC,SA=AB\). Gọi a là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của \(\tan \alpha \) là:

A. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

B. \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)           

C. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)       

D. \(\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(AH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\), \(SA=AB=a\), \(SH=HC=\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

Có \(S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}=A{{H}^{2}}\Rightarrow \Delta SAH\Rightarrow SA\bot AB\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(AC=hc\left( SC;\left( ABCD \right) \right)\)

Ta có: \(\left( SC;\left( ABCD \right) \right)=SCA,\tan SCA=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Chọn đáp án A.

Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của hình chóp S.ABCD là \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABCD) là:

A. 30⁰ 

B. 45⁰ 

C. 60⁰ 

D. 120⁰

Hướng dẫn giải:

Gọi H là trung điểm AB

Ta có \({{S}_{ABC\text{D}}}={{a}^{2}},{{V}_{S.ABC\text{D}}}=\frac{1}{3}.SH.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{2}\)

\(HC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(\left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SC,HC} \right)=\widehat{SCH}\)

\(\tan \widehat{SCH}=SH:CH=\frac{a\sqrt{15}}{2}:\frac{a\sqrt{5}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCH}={{60}^{0}}\)

Chọn đáp án C.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB, \(SH=HC,SA=AB\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị của \(\tan \alpha \) là:

A. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

B. \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)           

C. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)       

D. \(\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(AH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\)

\(SA=AB=a\)

\(SH=HC=\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

Có \(A{{H}^{2}}+S{{A}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}=S{{H}^{2}}\xrightarrow{{}}\Delta SAH\) vuông tại A nên \(SA\bot AB\)

Do đó \(SA\bot \left( ABCD \right)\) nên \(\widehat{SC,\left( ABCD \right)}=\widehat{SCA}\)

Trong tam giác vuông SAC, có \(\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Chọn đáp án A.

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng , cosin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) bằng :

A. \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) 

B. \(\frac{2}{5}\)          

C. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)           

D. \(\frac{\sqrt{10}}{5}\)

Hướng dẫn giải:

Gọi P là trung điểm AO; Q là giao điểm của MC và SO, từ Q kẽ tia song song với MN trong mp(MBC) cắt BC tại R, trong mặt phẳng đáy từ R kẽ tia song song với AC cắt BD tại S.

MP//SO nên \(MP\bot \left( ABCD \right)\), suy ra \(\widehat{MNP}={{60}^{0}}\)

Ta tính PN bằng cách vẽ thêm hình phụ như bên, theo định lí Ta-lét \(PT=\frac{3}{4}AB=\frac{3a}{4}\)

Dễ thấy \(TN=\frac{a}{4}\), theo định lý Pytago ta tính được \(PN=\frac{a\sqrt{10}}{4}\).

Tam giác MPN vuông tại P có \(MN=\frac{NP}{cos\widehat{MNP}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\)

Dễ thấy Q là trọng tâm tam giác SAC nên \(\frac{CQ}{MC}=\frac{2}{3}\)

Vì QR//MN nên theo định lý Ta-lét ta suy ra \(\frac{QR}{MN}=\frac{CQ}{MC}=\frac{CR}{NC}=\frac{2}{3}\Rightarrow QR=\frac{2}{3}MN=\frac{a\sqrt{10}}{3}\)

Hình vuông ABCD cạnh a có đường chéo \(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Vì SR//AC nên theo định lý Ta-lét ta suy ra \(\frac{SR}{OC}=\frac{BR}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow SR=\frac{2}{3}OC=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)

\(CA\bot \left( SBD \right),\text{ }SR//CA\Rightarrow SR\bot \left( SBD \right)\), mặt khác QR//MN do đó góc giữa MN với (SBD) là góc giữa QR với (SBD) là góc SQR.

Tam giác SQR vuông tại S có \(cos\widehat{SQR}=\frac{SR}{QR}=\frac{a\sqrt{2}}{3}:\frac{a\sqrt{10}}{3}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Chọn đáp án C.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Toán 11​​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian Toán 11

• Chuyên đề ôn thi THPT QG về Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Chúc các em học tốt!