Phương pháp giải một số dạng toán về hàm ẩn, hàm hợp luyện thi tốt nghiệp THPT quốc gia

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN, HÀM HỢP

LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

I. KIẾN THỨC VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ, NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.

1.1. Các kiến thức về sự đồng biến nghịch biến của hàm số:

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

1.1.1. Định nghĩa:

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ \(\forall {x_{1,\;}}{x_{2\;}} \in K,\;{x_{1\;}} < {\rm{ }}{x_{2\;}}\;thì \;{\rm{ }}f\left( {{x_1}} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}f\left( {{x_2}} \right).\)

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ \(\forall {x_{1,\;}}{x_{2\;}} \in K,\;{x_{1\;}} < {\rm{ }}{x_{2\;}}\;thì \;{\rm{ }}f\left( {{x_1}} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}f\left( {{x_2}} \right).\)

Hàm số đồng biến ( hay nghịch biến) trên tập K gọi chung là đơn điệu trên tập K.

1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Cho hàm số có đạo hàm trên K.

- Nếu f đồng biến trên K thì \(f'\left( x \right)\; \ge {\rm{ }}0\) với mọi \(x \in K\).

- Nếu f đồng biến trên K thì \(f'\left( x \right)\; \le {\rm{ }}0\) với mọi \(x \in K\).

1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: cho hàm số f có đạo hàm trên K.

- Nếu \(f'\left( x \right)\; \ge {\rm{ }}0\) với mọi \(x \in K\) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì đồng biến trên K.

- Nếu \(f'\left( x \right)\; \le {\rm{ }}0\) với mọi \(x \in K\) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì nghịch biến trên K.

- Nếu f'(x) = 0 với mọi \(x \in K\) thì f là hàm hằng trên K.

1.1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

 a) Tìm tập xác định

 b) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm \({x_{i\;}}\left( {i = {\rm{ }}1{\rm{ }},{\rm{ }}2{\rm{ }},...,{\rm{ }}n} \right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

 c) Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

 d) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1.2. Các kiến thức về cực trị của hàm số:

1.2.1. Định nghĩa 

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \({x_{0\;}} \in \left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)\).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho \(f\left( x \right) < \;f\left( {{x_0}} \right),\;\forall x\; \in \left( {{x_{0\;}} - h{\rm{ }};{\rm{ }}{x_{0\;}} + h} \right),{\rm{ }}x\; \ne \;{x_{0\;}}\) thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại   .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho \(f\left( x \right) > \;f\left( {{x_0}} \right),\;\forall x\; \in \left( {{x_{0\;}} - h{\rm{ }};{\rm{ }}{x_{0\;}} + h} \right),{\rm{ }}x\; \ne \;{x_{0\;}}\) thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại   .

1.2.2. Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng \(K{\rm{ }} = \;\left( {{x_{0\;}} - h{\rm{ }};{\rm{ }}{x_{0\;}} + h} \right){\rm{ }}\left( {h{\rm{ }} > 0} \right)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\; \setminus \left\{ {\;{x_{0\;}}} \right\}\).

Nếu \(f\prime \left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)\) và \(f\prime \left( x \right) > 0,\forall \left( {{x_0};{x_0} + h} \right)\) thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.

1.2.3. Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x₀ - h ; x₀ + h) (h > 0).

- Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0,\;f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số  .

- Nếu \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0,\;\;f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì x0 là điểm cực đại của hàm số  .

1.2.4. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

- Tìm tập xác định.

- Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.

- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

- Tìm tập xác định.

- Tính f'(x). Tìm các nghiệm x_i của phương trình f'(x) = 0.

- Tính \(f''\left( {{x_i}} \right)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi.

(Chú ý: nếu \(f''\left( {{x_i}} \right) = 0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi).

1.3. Các kiến thức biện luận số nghiệm của phương trình:

Tính chất 1: Nếu hàm số f(x) liên tục [a;b] và đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn [a;b].

Mở rộng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và  có đạo hàm đổi dấu n lần trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất n + 1 một nghiệm trong đoạn [a;b].

Tính chất 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình \(f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v\) với \(\forall u,v \in {\rm{[}}a;b{\rm{]}}\).

Tính chất 3: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu tăng trên (a;b) thì \(f(x) > f(y) \Leftrightarrow x > y\) (Nếu f đơn điệu giảm thì \(f(x) > f(y) \Leftrightarrow x < y\)) với \(\forall x,y \in (a;b)\).

Tính chất 4:

+ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Bất phương trình \(f(x) \le m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in {\rm{[}}a;b{\rm{]}}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x) \le m\) .

+ Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Bất phương trình \(f(x) \le m\) có nghiệm \(x \in {\rm{[}}a;b{\rm{]}}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x) \le m\).

II. CÁC DẠNG TOÁN

I. XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM HỢP, HÀM ẨN

1. Dạng 1.

Cho hàm y = f(x) hoặcy = f'(x) hàm xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)).

Phương pháp:

- Tính đạo hàm g'(x) = f'(u(x)).u'(x)

- Xét dấu g'(x) dựa vào dấu của f'(u(x)) và u'(x) theo quy tắc nhân dấu.Lưu ý khi xét dấu f'(u(x)) dựa vào dấu của f'(x) như sau: Nếu f'(x) không đổi dấu trên thì f'(u(x)) không đổi dấu khi \(u(x) \in D\).

Ví dụ 1. ( Câu 35 Mã đề 102- THPTQG năm 2019). Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Hàm số f(5 - 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2;3).                                B. (0;2).                           C. (3;5).                           D. \(\left( {5; + \infty } \right)\) .

Lời giải

Ta có \(y = f(5 - 2x) \to y' = - 2f'(5 - 2x)\)

Hàm số nghịch biến khi \(y' = - 2f'(5 - 2x) \le 0 \Leftrightarrow f'(5 - 2x) \ge 0\)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy khi \(f'(x) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 1\\ - 3 \le x \le - 1 \end{array} \right.\)

Nên \(f'(5 - 2x) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5 - 2x \ge 1\\ - 3 \le 5 - 2x \le - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3 \le x \le 4\\ x \le 2 \end{array} \right.\)

Vậy hàm số y = f(5 - 2x) nghịch biến trên các khoảng (3;4) và \(\left( { - \infty ;2} \right)\).  Chọn B

 

{-- Để xem nội dung đầy đủ của tài liệu các em vui lòng xem ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Phương pháp giải một số dạng toán về hàm ẩn, hàm hợp luyện thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Chúc các em học tốt!