CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN LÃI SUẤT, TĂNG TRƯỞNG CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
BÀI TOÁN 1. CÔNG THỨC LÃI KÉP
Công thức: \(T = A{\left( {1 + r} \right)^n}\)
A là số tiền gốc ban đầu,
r là lãi suất/kỳ hạn và n là số kỳ hạn.
T là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi thu được.
Như vậy số tiền lãi thu được là: \(L = T - A = A{\left( {1 + r} \right)^n} - A\).
| Ví dụ 1: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra. A. 13 năm B. 12 năm C. 14 năm D. 11 năm |
Lời giải
Gọi \(n \in {N^ + }\) là số năm cần để có hơn 100 triệu đồng.
Suy ra \(50{\left( {1 + 6\% } \right)^n} > 100 \Leftrightarrow n > 11,9 \Rightarrow n = 12\) năm.
Chọn B.
| Ví dụ 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 7,5%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra? A. 11 năm B. 9 năm C. 10 năm D. 12 năm |
Lời giải
Áp dụng công thức lãi kép ta có: \(T = A{\left( {1 + r} \right)^n}\) trong đó \(r = 7,5\% ,\,\,T \ge 2A\)
Suy ra \(A{\left( {1 + 7,5\% } \right)^n} \ge 2A \Rightarrow 1,{075^n} \ge 2 \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,075}}2 \approx 9,58\).
Vậy cần ít nhất 10 năm để số tiền người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu.
Chọn C.
| Ví dụ 3: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng? A. Năm 2022 B. Năm 2021 C. Năm 2020 D. Năm 2023 |
Lời giải
Tổng số tiền ông A trả lương cho nhân viên sau n năm là: \(T = {T_0}{\left( {1 + r} \right)^n} = 1{\left( {1 + 15\% } \right)^n}\)
Giải \({\left( {1 + 15\% } \right)^n} \ge 2 \Rightarrow n \ge 4,95 \Rightarrow n = 5\).
Chọn B.
| Ví dụ 4: [Đề thi ở GD&ĐT Hà Nội năm 2017] Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5% một năm. Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Tính số tiền tối thiểu (triệu đồng, \(x \in N\)) ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gắn máy trị giá 30 triệu đồng. A. 150 triệu đồng B. 154 triệu đồng C. 145 triệu đồng D. 140 triệu đồng |
Lời giải
Công thức lãi kép \(T = A{\left( {1 + r} \right)^n}\)
Tiền lãi ông Việt có sau 3 năm sẽ là tiền gốc lẫn lãi trừ đi số tiền gốc ban đầu
Ta có: \(A{\left( {1 + 6,5\% } \right)^3} - A \ge 30 \Leftrightarrow A \ge \frac{{30}}{{{{\left( {1 + 6,5\% } \right)}^3} - 1}} \approx 144,26\) triệu.
Chọn C.
| Ví dụ 5: Sau một thời gian làm việc, chị An có số vốn là 450 triệu đồng. Chị An chia số tiền thành hai phần và gửi ở hai ngân hàng Agribank và Sacombank theo phương thức lãi kép. Số tiền ở phần thứ nhất chị An gửi ở ngân hàng Agribank với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 18 tháng. Số tiền ở phần thứ hai chị An gửi ở ngân hàng Sacombank với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 10 tháng. Tổng số tiền lãi thu được ở hai ngân hàng là 50,01059203 triệu đồng. Hỏi số tiền chị An đã gửi ở mỗi ngân hàng Agribank và Sacombank là bao nhiêu? A. 280 triệu và 170 triệu B. 170 triệu và 280 triệu C. 200 triệu và 250 triệu D. 250 triệu và 200 triệu |
Lời giải
Gọi x, y (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà chị An gửi vào ngân hàng Agribank và Sacombank.
Số tiền lãi mà chị An nhận được khi gửi tiền vào ngân hàng Agribank là \({t_1} = x.{\left( {1 + 2,1\% } \right)^6} - x\) triệu.
Số tiền lãi mà chị An nhận được khi gửi tiền vào ngân hàng Sacombank là \({t_2} = y.{\left( {1 + 0,73\% } \right)^{10}} - y\) triệu.
Khi đó, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 450\\ x.{\left( {1 + 2,1\% } \right)^6} + y.{\left( {1 + 0,73\% } \right)^{10}} = 500,010592 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 280\\ y = 170 \end{array} \right.\).
Chọn A.
| Ví dụ 6: [Trích đề tham khảo của bộ GD&ĐT năm 2018] Một người gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,4%/tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? A. 102.424.000 đồng B. 102.423.000 đồng C. 102.016.000 đồng D. 102.017.000 đồng |
Lời giải
Số tiền người đó nhận được sau 6 tháng là \(100.000.000{\left( {1 + 0,4\% } \right)^6} = 102.424.000\).
Chọn A.
BÀI TOÁN 2. CÔNG THỨC TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ
Công thức: \(N = {N_0}{\left( {1 + r} \right)^n}\) trong đó N0 là dân số năm ban đầu, r là tỷ lệ tăng dân số/năm, n là số năm và N là dân số năm cần tìm.
| Ví dụ 1: Theo báo cáo của chính phủ dân số của nước ta tính đến tháng 12 năm 2018 là 95,93 triệu người, nếu tỷ lệ tăng trưởng dân số trung bình hằng năm là 1,33% thì dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là bao nhiêu? |
Lời giải
Dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là: \(N = 95,93{\left( {1 + 1,33\% } \right)^7} \approx 105,23\) triệu người.
| Ví dụ 2: Dân số của một xã hiện nay là 10.000 người, người ta dự đoán sau 2 năm nữa dân số xã đó là 10404 người. Hỏi trung bình mỗi năm, dân số của xã đó tăng bao nhiêu phần trăm. |
Lời giải
Theo công thức ta có: \(N = {N_0}{\left( {1 + r} \right)^n} \Rightarrow 10404 = 10000{\left( {1 + r} \right)^2} \Rightarrow r = 0,02\% \)/năm.
@ BÀI TOÁN 3. HAO MÒN TÀI SẢN, DIỆN TÍCH RỪNG BỊ GIẢM…
̶ Công thức hao mòn tài sản: \(H = {H_0}{\left( {1 - r} \right)^n}\) trong đó H0 là giá trị tài sản lúc ban đầu, H là giá trị tài sản sau n năm và r là tỷ lệ hao mòn tính theo năm.
̶ Công thức diện tích rừng bị giảm: \(T = {T_0}{\left( {1 - r} \right)^n}\) trong đó T0 là diện tích rừng ban đầu, T là diện tích rừng sau n năm và r là tỷ lệ rừng giảm hằng năm.
| Ví dụ 1: Giả sử cứ sau một năm diện tích rừng của nước ta giảm x phần trăm diện tích hiện có. Hỏi sau 4 năm diện tích rừng của nước ta sẽ là bao nhiêu phần diện tích hiện nay? A. \(1 - {\left( {\frac{x}{{100}}} \right)^4}\) B. 100% C. \(1 - \frac{{4x}}{{100}}\) D. \({\left( {1 - \frac{x}{{100}}} \right)^4}\) |
Lời giải
Sau năm thứ n, diện tích rừng còn lại là \({T_0}{\left( {1 - r} \right)^n}\) nên sau 4 năm diện tích rừng sẽ là \({\left( {1 - \frac{x}{{100}}} \right)^4}\) phần diện tích nước ta hiện nay.
Chọn D.
| Ví dụ 2: Một người mua một chiếc xe SH trị giá 98 triệu đồng, tính giá trị của chiếc xe đó sau 5 năm, biết rằng cứ sau mỗi năm giá trị của chiếc xe giảm đi 10%. |
Lời giải
Giá trị của chiếc xe sau 5 năm là: \(T = 98{\left( {1 - 10\% } \right)^5} = 57,87\) triệu đồng.
| Ví dụ 3: Khi một kim loại được làm nóng đến bền kéo của nó giảm đi 50%. Sau khi kim loại vượt qua ngưỡng nếu nhiệt độ kim loại tăng thêm thì độ bền kéo của nó giảm đi 35% hiện có. Biết kim loại này có độ bền kéo là 280 MPa dưới 600oC và được sử dụng trong việc xây dựng các lò công nghiệp. Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo của vật liệu này là 38 MPa thì nhiệt độ an toàn tối đa của lò công nghiệp bằng bao nhiêu, tính theo độ Celsius? A. 620 B. 615 C. 605 D. 610 |
Lời giải
Độ bền kéo là 280 MPa dưới 600oC. Đến 600oC bền kéo của nó giảm đi 50% còn 140 MPa.
Nhiệt độ kim loại tăng 5oC thì độ bền kéo của nó giảm đi 35% nên ta có
\(140.{\left( {1 - \frac{{35}}{{100}}} \right)^n} \ge 38 \Leftrightarrow n \le 3,027\)
Suy ra n = 3. Mỗi chu kỳ tăng 5oC⇒3 chu kỳ tăng 15oC
Nhiệt độ an toàn tối đa là 615oC.
Chọn B.
BÀI TOÁN 4. TĂNG TRƯỞNG CỦA BÈO, CỦA VI KHUẨN…
BÀI TOÁN 5. TIỀN GỬI TIẾT KIỆM
BÀI TOÁN 6. TRẢ GÓP HÀNG THÁNG
BÀI TOÁN 7. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
---(Để xem tiếp nội dung các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần nội dung tài liệu Các dạng toán trọng tâm và phương pháp giải bài toán lãi suất, tăng trưởng có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
