1. Dạng vô định \(\dfrac{0}{0}\)
Bài toán:
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\), trong đó \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các đa thức hoặc căn thức.
Phương pháp:
- Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.
- Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.
- Bước 3: Tính giới hạn theo cách thông thường.
Nếu \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có chứa căn thức thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích và giản ước.
Đặc biệt:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\)
Ví dụ: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{1}{{2 - 1}} = 1\)
2. Dạng vô định \(\dfrac{\infty }{\infty }\)
Bài toán: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = \pm \infty \), trong đó \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các đa thức.
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.
- Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của \(x\).
- Bước 3: Tính các giới hạn thông thường và suy ra kết quả.
Ví dụ: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} = - \dfrac{1}{2}\)
Cần xét xem \(x \to + \infty ,x \to - \infty \) khi khai căn biểu thức có chứa căn bậc hai.
3. Dạng vô định \(0.\infty \)
Bài toán: Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \pm \infty \).
Phương pháp:
- Bước 1: Biến đổi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{g\left( x \right)}}}}\) để đưa về dạng \(\dfrac{0}{0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{g\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}}\) để đưa về dạng \(\dfrac{\infty }{\infty }\).
- Bước 2: Sử dụng các phương pháp của dạng 1 và 2 để tính tiếp giới hạn.
4. Dạng vô định \(\infty - \infty \)
Bài toán: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = + \infty \) hoặc tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = - \infty \).
Phương pháp:
- Bước 1: Nhận hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.
- Bước 2: Thực hiện tính giới hạn dựa theo các dạng đã biết.
5. Bài tập
Câu 1. Tìm giới hạn \(B=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}\text{ }(n\in \mathbb{N}*,a\ne 0)\):
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{a}{n}\)
D. \(1-\frac{n}{a}\)
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Nhân liên hợp
Ta có:
\(B=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\sqrt[n]{1+ax}-1)(\sqrt[n]{{{(1+ax)}^{n-1}}}+\sqrt[n]{{{(1+ax)}^{n-2}}}+...+\sqrt[n]{1+ax}+1)}{x(\sqrt[n]{{{(1+ax)}^{n-1}}}+\sqrt[n]{{{(1+ax)}^{n-2}}}+...+\sqrt[n]{1+ax}+1)}\)
\(B=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{\sqrt[n]{{{(1+ax)}^{n-1}}}+\sqrt[n]{{{(1+ax)}^{n-2}}}+...+\sqrt[n]{1+ax}+1}=\frac{a}{n}\).
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Đặt \(t=\sqrt[n]{1+ax}\Rightarrow x=\frac{{{t}^{n}}-1}{a}\) và \(x\to 0\Leftrightarrow t\to 1\)
\(\Rightarrow B=a\underset{t\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{t-1}{{{t}^{n}}-1}=a\underset{t\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{t-1}{(t-1)({{t}^{n-1}}+{{t}^{n}}+...+t+1)}=\frac{a}{n}\).
Câu 2. Tìm giới hạn \(A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{\sqrt[m]{1+bx}-1}\) với \(ab\ne 0\):
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{am}{bn}\)
D. \(1+\frac{am}{bn}\)
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Áp dụng bài toán trên ta có:
\(A=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}.\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt[m]{1+bx}-1}=\frac{a}{n}.\frac{m}{b}=\frac{am}{bn}\).
Câu 3. Tìm giới hạn \(N=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{x}\):
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{a}{m}-\frac{b}{n}\)
D. \(\frac{a}{m}+\frac{b}{n}\)
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: \(N=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}=\frac{a}{m}-\frac{b}{n}\)
Câu 4. Tìm giới hạn \(N=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{\sqrt{1+x}-1}\):
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{2\left( an-bm \right)}{mn}\)
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: \(N=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}-\frac{\sqrt[n]{1+bx}-1}{x} \right).\frac{x}{\sqrt{1+x}-1}\)
\(=\left( \frac{a}{m}-\frac{b}{n} \right).2=\frac{2(an-bm)}{mn}\).
Câu 5. Tìm giới hạn \(G=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}\):
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{a}{m}-\frac{b}{n}\)
D. \(\frac{a}{m}+\frac{b}{n}\)
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: \(G=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}\left( \sqrt[n]{1+bx}-1 \right)}{x}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}=\frac{b}{n}+\frac{a}{m}\)
...
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải các dạng vô định Toán 11. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Chúc các em học tập tốt!
