Lý thuyết và bài tập về giới hạn của hàm số

Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \(0\) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0\) hoặc \(\lim {u_n} = 0\).

Một số dãy số có giới hạn \(0\) thường gặp:

\(\lim \dfrac{1}{n} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt n }} = 0,\lim \dfrac{1}{{\sqrt[3]{n}}} = 0,..\)

Định lý 1: Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lý 2: Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

Định nghĩa: Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - L} \right) = 0\).

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) = L\), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) = L\) hoặc \(\lim {u_n} = L\).

Định lý 1: Giả sử \(\lim {u_n} = L\). Khi đó:

i) \(\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| L \right|\) và \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\).

ii) Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt L \)

Định lý 2: Giả sử \(\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = M\) và \(c\) là một hằng số. Khi đó:

i) Các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right),\left( {{u_n} - {v_n}} \right),\left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và \(\left( {c.{u_n}} \right)\) có giới hạn là:

+) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\)

+) \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = L - M\)

+) \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = L.M\)

+) \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\)

ii) Nếu \(M \ne 0\) thì dãy số \(\left( {\dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\) có giới hạn là \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \dfrac{L}{M}\).

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Với cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\) thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) thì:

\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Định nghĩa:

a) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( + \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) =  + \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) =  + \infty \) hoặc \(\lim {u_n} =  + \infty \).

b) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( - \infty \) nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Khi đó, ta viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n}} \right) =  - \infty \), viết tắt là \(\lim \left( {{u_n}} \right) =  - \infty \) hoặc \(\lim {u_n} =  - \infty \).

Nhận xét:

i) \(\lim n = + \infty ,\lim \sqrt n =  + \infty ,\) \(\lim \sqrt[3]{n} =  + \infty \)

ii) Nếu \(\lim {u_n} = - \infty \) thì \(\lim \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \)

Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực:

Câu 1. Tìm \(\lim {{u}_{n}}\) biết \({{u}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+k}}}\)

A. \(+\infty \)

B. \(-\infty \)

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}<\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+k}}<\frac{1}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}},\text{ }k=1,2,...,n\)

Suy ra \(\frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}<{{u}_{n}}<\frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}\)

Mà \(\lim \frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}=\lim \frac{n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}=1\) nên suy ra \(\lim {{u}_{n}}=1\).

Câu 2. Tìm \(\lim {{u}_{n}}\) biết \({{u}_{n}}=\underbrace{\sqrt{2\sqrt{2...\sqrt{2}}}}_{n\text{ dau can}}\)

A. \(+\infty \)

B. \(-\infty \)

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: \({{u}_{n}}={{2}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}}}={{2}^{1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}}\),nên \(\lim {{u}_{n}}=\lim {{2}^{1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}}=2\).

Câu 3. Tìm giá trị đúng của \(S=\sqrt{2}\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}+....... \right)\).

A. \(\sqrt{2}+1\).

B. 2.

C. \(2\sqrt{2}\).

D. \(\frac{1}{2}\).

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: \(S=\sqrt{2}\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}+....... \right)=\sqrt{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}\).

Câu 4. Tính giới hạn \(\lim \left[ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \right]\)

A. 0

B. 1

C. \(\frac{3}{2}\).

D. Không có giới hạn.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt : \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)

\(\Rightarrow \lim \left[ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+....+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \right]=\lim \frac{n}{n+1}=\lim \frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1\)

Câu 5. Tính \(\lim \left[ \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+....+\frac{1}{n\left( 2n+1 \right)} \right]\)

A. 1

B. 0

C. \(\frac{2}{3}\).

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt \(A=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+....+\frac{1}{n\left( 2n+1 \right)}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow 2A=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+....+\frac{2}{n\left( 2n+1 \right)} \\ & \Rightarrow 2A=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{2n+1} \\ & \Rightarrow 2A=1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1} \\ & \Rightarrow A=\frac{n}{2n+1} \\ \end{align}\)

Nên \(\lim \left[ \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+....+\frac{1}{n\left( 2n+1 \right)} \right]=\lim \frac{n}{2n+1}=\lim \frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}.\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về giới hạn của hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!