Lý thuyết và bài tập về giới hạn của hàm số

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới $x_0$ kí hiệu là $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$.

Nhận xét: $\underset{x\to x_0}{lim}x=x_0,\underset{x\to x_0}{lim}c=c$  với $c$ là hằng số.

Định lý: Giả sử $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L,\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=M$. Khi đó:

+) $\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=L+M$

+) $\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=L-M$

+) $\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=L.M$

+) $\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}={\displaystyle \frac{L}{M}}$ với $M\ne 0$

Nếu $f\left(x\right)\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

Số $L$ là:

+ giới hạn bên phải của hàm số $y=f\left(x\right)$ kí hiệu là $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=L$

+ giới hạn bên trái của hàm số $y=f\left(x\right)$ kí hiệu là $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$

Định lý: $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L\iff \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có giới hạn là số $L$ khi $x\to +\mathrm{\infty }$ (hoặc $x\to -\mathrm{\infty }$)  kí hiệu là:$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=L$ (hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=L$)

Với $c,k$ là hằng số và $k$ nguyên dương, ta luôn có: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}c=c,\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{c}{x^k}}=0$.

a) Giới hạn vô cực

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có giới hạn là $\pm \mathrm{\infty }$ khi $x\to \pm \mathrm{\infty }$ kí hiệu là $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=x=\pm \mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ $\iff \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[-f\left(x\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

b) Một vài giới hạn đặc biệt

+) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty }$ với $k$ nguyên dương.

+) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty }$ nếu $k$ chẵn và $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=-\mathrm{\infty }$ nếu $k$ lẻ.

Câu 1. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_0{x}^n+...+a_{n-1}x+a_n}{b_0{x}^m+...+b_{m-1}x+b_m}\text{, (}{a}_0,b_0\ne 0)$.

A. $+\mathrm{\infty }$.

B. $-\mathrm{\infty }$.

C. $\frac{4}{3}$.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: $A=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n(a_0+\frac{a_1}{x}+...+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{a_n}{x^n})}{x^m(b_0+\frac{b_1}{x}+...+\frac{b_{m-1}}{x^{m-1}}+\frac{b_m}{x^m})}$

Nếu $m=n\Rightarrow A=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_0+\frac{a_1}{x}+...+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{a_n}{x^n}}{b_0+\frac{b_1}{x}+...+\frac{b_{m-1}}{x^{m-1}}+\frac{b_m}{x^m}}=\frac{a_0}{b_0}$.

Nếu $m>n\Rightarrow A=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_0+\frac{a_1}{x}+...+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{a_n}{x^n}}{x^{m-n}(b_0+\frac{b_1}{x}+...+\frac{b_{m-1}}{x^{m-1}}+\frac{b_m}{x^m})}=0$

( Vì tử $\to a_0$, mẫu $\to 0$).

Nếu m < n : ta có $A=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^{n-m}(a_0+\frac{a_1}{x}+...+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{a_n}{x^n})}{b_0+\frac{b_1}{x}+...+\frac{b_{m-1}}{x^{m-1}}+\frac{b_m}{x^m}}=\{\begin{array}{rl}& +\mathrm{\infty }\text{ khi }{a}_0.b_0>0\\ & -\mathrm{\infty }\text{ khi }{a}_0{b}_0<0\end{array}.$

Câu 2. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-5\sin 2x+{\cos }^{2}x}{x^2+2}$ bằng:

A. $-\mathrm{\infty }$

B. 0

C. 3

D. $+\mathrm{\infty }$

Hướng dẫn giải

Chọn B

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-5\sin 2x+{\cos }^{2}x}{x^2+2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x-10\sin 2x+\cos 2x}{2x^2+4}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x}{2x^2+4}+\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-10\sin 2x+\cos 2x}{2x^2+4}$

$=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-10\sin 2x+\cos 2x}{2x^2+4}$.

Vì $-10\sin 2x+\cos 2x\le \sqrt{({10}^2+1^2)({\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x)}=\sqrt{101}$ nên:

$0\le \left|\frac{-10\sin 2x+\cos 2x}{2x^2+4}\right|\le \frac{\sqrt{101}}{2x^2+4}$.

Mà $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{101}}{2x^2+4}=0$ nên $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-10\sin 2x+\cos 2x}{2x^2+4}=0$.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về giới hạn của hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tập tốt!