Ôn tập chương 4 Bất đẳng thức, bất phương trình

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức \(a + \frac{4}{{\left( {a - b} \right){{\left( {b + 1} \right)}^2}}} \ge 3\)

Hướng dẫn:

Điều kiện: \(a>b\geq 0\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

\(a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=a-b+b+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\)

\(=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\)

\(\geq 4\sqrt[4]{(a-b).\frac{b+1}{2}.\frac{b+1}{2}.\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}}-1\)

\(=4-1=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a-b=\frac{b+1}{2}=\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\Leftrightarrow a=2; b=1\)

Ví dụ 2: Cho a+b\(\ge\)0, chứng minh \(\dfrac{a+b}{2}\)\(\le\)\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\) 

Hướng dẫn:

Theo bđt cosi ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}\)

Suy ra đpcm

Ví dụ 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn 

\(\left\{ \begin{array}{l}
3x + y \le 6\\
x + y \le 4\\
2x - y \ge 3\\
 - 10x + 5y < 8
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn: 

Vẽ các đường thẳng

\(\begin{array}{l}
(a):3x + y = 6\\
(b):x + y = 4\\
(c):2x - y = 3\\
(d): - 10x + 5y = 8
\end{array}\)

Vì điểm M(0;-3) có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các mặt phẳng bờ (a), (b), (c), (d) không chứa điểm M. Miền không bị tô đậm là miền nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình \( - {x^2} + (m + 1)x + {m^2} - 5m + 6 = 0\) (1) có 2 nghiệm trái dấu

Hướng dẫn:

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

\( - 1.\left( {{m^2} - 5m + 4} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 5m + 4} \right) > 0\)

Vì tam thức \(f(x) = \left( {{m^2} - 5m + 4} \right)\) có 2 nghiệm là \({m_1} = 1,{m_2} = 4\) và hệ số của \(m^2\) dương nên 

\(\left( {{m^2} - 5m + 4} \right) > 0 \Leftrightarrow m > 4 \vee m < 1\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(m > 4 \vee m < 1\)

Nội dung bài giảng sẽ giúp các em tổng hợp kiến thức và các kỹ năng về bất đẳng thức - bất phương trình đã được học thông qua các sơ đồ. Bên cạnh đó các em còn được ôn lại phương pháp giải toán thông qua một số bài tập có hướng dẫn giải chi tiết.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương IV - Toán 10 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tập nghiệm của bất phương trình \(x({x^2} - 1) \ge 0\) là

  • A. \(( - \infty ; - 1] \cup [0;1)\)
  • B. [-1;1]
  • C. \(( - \infty ; - 1) \cup [1; + \infty )\)
  • D. \([ - 1;0] \cup [1; + \infty )\)

• Câu 2:

  Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {3{x^2} + 4x - 1} \right| \le \left| {3{x^2} - x + 8} \right|\) là

  • A. \(( - \infty ;\frac{9}{5}]\)
  • B. \(( - 2;\frac{9}{5}]\)
  • C. (-3;5]
  • D. R

• Câu 3:

  Tập nghiệm của bất phương trình \((x + 1)(x + 4) < 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28} \) là

  • A. [-2;4)
  • B. \(( - \infty ;4]\)
  • C. \(( - \infty ;5)\)
  • D. (-9;4)

• Câu 4:

  Tập nghiệm của phương trình \((x + 1)\sqrt {16x + 17}  = 8{x^2} - 15x - 23\) là

  • A. {-1;4;2}
  • B. {-1;4}
  • C. {-1;2}
  • D. {-2;4}

• Câu 5:

  Nghiệm của bất phương trình \(\left| {2x - 1} \right| \le x + 2\) là

  • A. \(\frac{{ - 1}}{3} \le x \le 3\)
  • B. \(\frac{1}{3} \le x \le 3\)
  • C. \(\frac{{ - 1}}{3} \le x \le 2\)
  • D. \(\frac{{ - 1}}{3} < x \le 3\)

Câu 8- Câu 20: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương IV - Toán 10 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 9 trang 107 SGK Đại số 10

Bài tập 10 trang 107 SGK Đại số 10

Bài tập 1 trang 106 SGK Đại số 10

Bài tập 12 trang 107 SGK Đại số 10

Bài tập 13 trang 107 SGK Đại số 10

Bài tập 14 trang 107 SGK Đại số 10

Bài tập 15 trang 108 SGK Đại số 10

Bài tập 16 trang 108 SGK Đại số 10

Bài tập 17 trang 108 SGK Đại số 10

Bài tập 4.76 trang 125 SBT Toán 10

Bài tập 4.77 trang 125 SBT Toán 10

Bài tập 4.78 trang 125 SBT Toán 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.