Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng ax + b, trong đó a và b là hai số cho trước, với a ≠ 0 và a được gọi là hệ số của x hay hệ số của nhị thức.

Ví dụ 1: \(f(x) = 2x - 3;{\rm{ }}g(x) = 1 - 5x\)

Ta đã biết, phương trình ax + b = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm duy nhất \({x_0} =  - \frac{b}{a}\). Nghiệm đó cũng được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b. Nó có vai trò rất quan trọng trong việc xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x).

Định lý: Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng \(\left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right)\) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right)\)

Kết quả của định lí trên được tóm tắt trong bảng sau:

Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức f(x) = ax + b.

Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý vè dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bằng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự.

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{ - 3x + 5}}\)

Hướng dẫn:

Giải các phương trình 

\(\begin{array}{l}
4x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\\
x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\\
 - 3x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}
\end{array}\)

f(x) không xác định khi \(x = \frac{5}{3}\)

Lập bảng xét dấu chung 

Vậy f(x) > 0 khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};\frac{5}{3}} \right)\)

f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - 2;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)

f(x) = 0 khi x = -2 hoặc \(x = \frac{1}{4}\)

Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(\frac{1}{{1 - x}} \ge 1\)

Hướng dẫn:

Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho 

\(\frac{1}{{1 - x}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{1 - x}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{1 - x}} \ge 0\)

Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{x}{{1 - x}}\) ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {0;1} \right)\)

Một trong những cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét bất phương trình trong nhiều khoảng ( nửa khoảng, đoạn) khác nhau, trên đó các biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình |-2x+1|+x-3 < 5

Hướng dẫn:

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có: 

\(\left| { - 2x + 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2x + 1,x \ge \frac{1}{2}}\\
{ - \left( { - 2x + 1} \right),x < \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\)

Giải các hệ bất phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{1}{2}\\
\left( { - 2x + 1} \right) + x - 3 < 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{1}{2}\\
x >  - 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 7 < x \le \frac{1}{2}\\
\left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{1}{2}\\
\left( {2x - 1} \right) + x - 3 < 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{1}{2}\\
x < 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 3
\end{array}\)

Nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng:

\(\left( { - 7;\frac{1}{2}} \right] \cup \left( {\frac{1}{2};3} \right) = \left( { - 7;3} \right)\)

Kết luận: Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| \le a\) và \(f(x) \ge a\) với a > 0 đã cho.

Ta có:

\(\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow  - a \le f(x) \le a\)

\(f(x) \ge a \Leftrightarrow f(x) \le a \vee f(x) \ge a\)

Ví dụ 1: Xét dấu các nhị thức  \(f(x) = 2x - 3;{\rm{ }}g(x) = 1 - 5x\)

Hướng dẫn:

• \(f(x) = 2x - 3\)

Hệ số a = 2 > 0 và có nghiệm là \({x_0} = \frac{3}{2}\)

Bảng xét dấu 

Vậy f(x) > 0 khi \({x} > \frac{3}{2}\); f(x) < 0 khi \({x} < \frac{3}{2}\)

• \(g(x) = 1 - 5x\) 

Hệ số a = -5 < 0 và có nghiệm \({x_0} = \frac{1}{5}\)

Bảng xét dấu 

Vậy g(x) > 0 khi \({x} < \frac{1}{5}\); g(x) < 0 khi \({x} > \frac{1}{5}\); g(x) = 0 khi  \({x} = \frac{1}{5}\)

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \left( {2x - 1} \right)\left( { - x + 3} \right)\)

Hướng dẫn: 

Giải các phương trình 

\(\begin{array}{l}
\left( {2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\\
\left( { - x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\)

Lập bảng xét dấu chung 

Vậy f(x) > 0 khi \(x \in \left( {\frac{1}{2};3} \right)\)

f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 3

Ví dụ 3: Giải bất phương trình x³ - 4x < 0

Hướng dẫn: 

 \({x^3} - 4x < 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4} \right) < 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) < 0\)

Xét dấu biểu thức \(f(x) = x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\)

Bảng xét dấu 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - 2;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Ví dụ 4: Giải bất phương trình \(\frac{4}{{x - 1}} > \frac{7}{{2x + 1}}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
\frac{4}{{x - 1}} > \frac{7}{{2x + 1}} \Leftrightarrow \frac{4}{{x - 1}} - \frac{7}{{2x + 1}} > 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{4\left( {2x + 1} \right) - 7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 11}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} > 0
\end{array}\) (*)

Bảng xét dấu 

Từ bảng xét dấu trên ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình (*) là:

\(S = \left( { - 11; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Ví dụ 5: Giải bất phương trình \(\left| {3x + 2} \right| \le x + 1\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
\left| {3x + 2} \right| \le x + 1\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - \left( {x + 1} \right) \le 3x + 2\\
x + 1 \ge 3x + 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x \ge  - 4\\
2x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 1\\
x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 0
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - 1;0} \right]\)

Trong phạm vi bài học Chúng tôi chỉ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Dấu của nhị thức bậc nhất và phương pháp để giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Bất phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} > 8 - 2x\) có nghiệm là: 

  • A. \(3 < x \le 5\)
  • B. \(2 < x \le 3\)
  • C. \( - 5 < x \le - 3\)
  • D. \( - 3 < x \le - 2\)

• Câu 2:

  Bất phương trình: \(\sqrt {2x + 1} < 3 - x\) có nghiệm là:

  • A. \(\left[ { - \frac{1}{2};4 - 2\sqrt 2 } \right)\)
  • B. \(\left( {3;4 + 2\sqrt 2 } \right)\)
  • C. \(\left( {4 - 2\sqrt 2 ;3} \right)\)
  • D. \(\left( {4 + 2\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

• Câu 3:

  Nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} - x - 6 \le 0}\\ {{x^3} + {x^2} - x - 1 \ge 0} \end{array}} \right.\) là:

  • A. \(-2 \le x \le 3\)
  • B. \(-1 \le x \le 3\)
  • C. \(\left[ \begin{array}{l} 1 \le x \le 2\\ x = -1 \end{array} \right.\)
  • D. \(1 \le x \le 2\)

Câu 4- Câu 9: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 4.44 trang 113 SBT Toán 10

Bài tập 4.45 trang 113 SBT Toán 10

Bài tập 32 trang 126 SGK Toán 10 NC

Bài tập 33 trang 126 SGK Toán 10 NC

Bài tập 34 trang 126 SGK Toán 10 NC

Bài tập 35 trang 126 SGK Toán 10 NC

Bài tập 36 trang 127 SGK Toán 10 NC

Bài tập 37 trang 127 SGK Toán 10 NC

Bài tập 38 trang 127 SGK Toán 10 NC

Bài tập 39 trang 127 SGK Toán 10 NC

Bài tập 40 trang 127 SGK Toán 10 NC

Bài tập 41 trang 127 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.