Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ: Bất phương trình 3x + 2y < 1; x +3y > -2;...

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình \(ax + by \le c{\rm{ }}\) được gọi là miền nghiệm của nó.

Quy tắc thực hành biểu diễn hình học miền nghiệm ( hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình \(ax + by \le c{\rm{ }}\) ( tương tự cho bất phương  \(ax + by \ge c\))

Bước 1: Trên mặt phẳng xy, vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\)

Bước 2: Lấy một điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc \(\Delta \) ( ta thường lấy gốc tọa độ O)

Bước 3: Tính \(ax_0 + by_0\) và so sánh \(ax_0 + by_0\) với c

Bước 4: Kết luận

Nếu \(ax_0 + by_0 < c\) thì nửa mặt phẳng bờ \(\Delta \) chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của \(ax + by \le c{\rm{ }}\)

Nếu \(ax_0 + by_0 > c\) thì nửa mặt phẳng bờ \(\Delta \) không chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của \(ax + by \le c{\rm{ }}\)

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c{\rm{ }}\) bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by < c\)

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. 

Ví dụ 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 

                               \(- 3x + 2y > 5\)

Hướng dẫn:

Vẽ đường thẳng \(\Delta : - 3x + 2y = 5\)

Lấy gốc tọa độ O(0;0), ta thấy \(O \notin \Delta \) và có \( - 3.0 + 2.0 = 0 < 5\) nên nửa mặt phẳng không kể cả bờ \(\Delta \) không chứa O là miền nghiệm của bất phương trình \(- 3x + 2y > 5\)

Ví dụ 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y \le 3\\
2x + 5y \le 12x + 8
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y \le 3\\
2x + 5y \le 12x + 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - y \le 3\\
 - 10x + 5y \le 8
\end{array} \right.\)

Vẽ các đường thẳng

\(\begin{array}{l}
{d_1}:2x - y = 3\\
{d_2}: - 10x + 5y = 8
\end{array}\)

Vì điểm M(1;1) có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mật phẳng bờ \((d_1), (d_2)\) không chứa điểm M. Miền không bị tô đậm là miền nghiệm của hệ đã cho 

Trong phạm vi bài học Chúng tôi giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về bất phương trình bậc nhất hai ẩn và phương pháp biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Xác định m để phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0\) có ba nghiệm phân biệt lớn hơn –1.

  • A. \(m < - \frac{7}{2}\)
  • B. \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 1\\ m \ne - \frac{{16}}{9} \end{array} \right.\)
  • C. \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{7}{2} < m < - 1\\ m \ne - \frac{{16}}{9} \end{array} \right.\)
  • D. \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{7}{2} < m < - 3\\ m \ne - \frac{{19}}{6} \end{array} \right.\)

• Câu 2:

  Phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + 4m - 5 = 0\) có đúng hai nghiệm x1, x2 thoả 2 < x1 < x2. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau

  • A. \( - 2 < m < - 1\)
  • B. \(m > 1\)
  • C. \( - 5 < m < - 3\)
  • D. \( - 2 < m < 1\)

• Câu 3:

  Nghiệm dương nhỏ nhất của bất phương trình \(\left| {\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| + 2x + 9} \right| \le \left| {{x^2} - x + 5} \right|\) gần nhất với số nào sau đây

  • A. 2,8
  • B. 3
  • C. 3,5
  • D. 4,5

Câu 5- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 4.46 trang 116 SBT Toán 10

Bài tập 4.47 trang 116 SBT Toán 10

Bài tập 4.48 trang 117 SBT Toán 10

Bài tập 4.49 trang 117 SBT Toán 10

Bài tập 4.50 trang 117 SBT Toán 10

Bài tập 42 trang 132 SGK Toán 10 NC

Bài tập 43 trang 132 SGK Toán 10 NC

Bài tập 44 trang 132 SGK Toán 10 NC

Bài tập 45 trang 135 SGK Toán 10 NC

Bài tập 46 trang 135 SGK Toán 10 NC

Bài tập 47 trang 135 SGK Toán 10 NC

Bài tập 48 trang 135 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.