Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai đối với  là biểu thức có dạng \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\) trong đó \(a,b,c\) là những hệ số \(,a \ne 0.\)

Ví dụ 1: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai?

\(\begin{array}{l}
a.f(x) = {x^2} - 1\\
b.f(x) = {(x - 1)^2}\\
c.f(x) = (x - 1)(x - 2)\\
d.f(x) = {x^2}({x^2} - 1)
\end{array}\)

Đáp án: 3

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) cũng là nghiệm của tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} - 4ac\;(\Delta ' = b{'^2} - ac)\) được gọi là biệt thức(biệt thức thu gọn ) của tam thức bậc hai.

Định lí: Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Nếu \(\Delta  < 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in R\)

Nếu  \(\Delta  = 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

Nếu \(\Delta  > 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \(x < {x_1}\) hoặc \(x > {x_2}\) trái dấu với hệ số a khi \({x_1} < x < {x_2}\) trong đó \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của f(x)

Các kết quả trên được thể hiện qua các bảng sau:

+ Với \(\Delta  < 0\)

+ Với \(\Delta  = 0\)

+ Với \(\Delta  > 0\)

* Cách xét dấu tam thức bậc hai

+ Tìm nghiệm tam thức (bấm máy)

+ Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a.

+ Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c < 0\) (hoặc

\(a{x^2} + bx + c \le 0,a{x^2} + bx + c > 0,a{x^2} + bx + c \ge 0\)), trong đó \(a,b,c\) là những số thực đã cho \(,a \ne 0.\).

Ví dụ 2: \({x^2} - 1 < 0;2{x^2} - 5x + 2 > 0\)

Giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c < 0\) thực chất là tìm các khoảng mà trong đó \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a ( trường hợp a > 0)

Ví dụ 1: Xét dấu tam thức \(f(x) =  3{x^2} + 2x - 5.\)

Hướng dẫn:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
3{x^2} + 2x - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{5}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Hệ số a = 3 > 0

Bảng xét dấu

Kết luận

\(\begin{array}{l}
f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \frac{5}{3};1} \right)\\
f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right) \cup (1; + \infty ).
\end{array}\)

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 1}}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1(a = 1 > 0)\\
{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 1
\end{array} \right.(a = 1 > 0)
\end{array}\)

Bảng xét dấu 

Kết luận 

\(\begin{array}{l}
f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\
f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right)
\end{array}\)

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x - 4 < 0\)

Hướng dẫn:

Ta đặt \(f(x) =  - 3{x^2} + 7x - 4\)

\({ - 3{x^2} + 7x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right.}\)

Hệ số a = -3 < 0

Bảng xét dấu 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(T = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)

Trong phạm vi bài học Chúng tôi giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Dấu của tam thức bậc hai và phương pháp để giải bất phương trình bất phương trình bậc hai một ẩn 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Để bất phương trình \(\sqrt {(x + 5)(3 - x)} \le {x^2} + 2x + a\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\), tham số  a phải thỏa điều kiện:

  • A. \(a \ge 3\)
  • B. \(a \ge 4\)
  • C. \(a \ge 5\)
  • D. \(a \ge 6\)

• Câu 2:

  Với giá trị nào của m thìphương trình \(\sqrt {{x^2} - 2m} + 2\sqrt {{x^2} - 1} = x\) vô nghiệm?

  • A. \(m \le \frac{2}{3}\)
  • B. \(\left[ \begin{array}{l} m < 0\\ m > \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
  • C. \(0 \le m \le \frac{2}{3}\)
  • D. m = 0

• Câu 3:

  Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 3x - 4 \le 0}\\ {{x^3} - 3\left| x \right|x - {m^2} + 6m \ge 0} \end{array}} \right.\). Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

  • A. \(2 \le m \le 8\;\)
  • B. \(-8 \le m \le 2\;\)
  • C. \(-2 \le m \le 8\;\)
  • D. \(-8 \le m \le -2\;\)

Câu 4- Câu 9: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 64 trang 146 SGK Toán 10 NC

Bài tập 65 trang 151 SGK Toán 10 NC

Bài tập 66 trang 151 SGK Toán 10 NC

Bài tập 67 trang 151 SGK Toán 10 NC

Bài tập 68 trang 151 SGK Toán 10 NC

Bài tập 69 trang 154 SGK Toán 10 NC

Bài tập 70 trang 154 SGK Toán 10 NC

Bài tập 71 trang 154 SGK Toán 10 NC

Bài tập 72 trang 154 SGK Toán 10 NC

Bài tập 73 trang 154 SGK Toán 10 NC

Bài tập 74 trang 154 SGK Toán 10 NC

Bài tập 75 trang 154 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ sớm trả lời cho các em.