Một số bài toán về mô hình các khối đa diện

Ngoài ra với các khối tròn xoay, ta cũng có thể làm tương tự bằng cách cắt các khối tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra một mặt phẳng, ta sẽ có kết quả như các hình sau đối với khối trụ và khối nón.

Hình 3.13.5

Hình 3.13.6

Bài 1: Cho lưới đa giác của mô hình một khối tứ diện đều có dạng như hình bên dưới. Biết lưới là một tam giác đều có cạnh 8cm. Tính thể tích của mô hình khối tứ diện đều tạo thành.

Hướng dẫn giải

Dựng mô hình của khối tứ diện từ lưới đa giác đã cho. Ta có độ dài các cạnh của tứ diện:

DA = DB = DC = AB = BC = CA = 4 (cm).

Gọi H là hình chiếu của D lên mặt phẳng (ABC).

Ta có: \(AH=AB.\frac{\sqrt{3}}{2}=4.\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\left( cm \right)\).

Xét tam giác DHA vuông tại H:

\(DH=\sqrt{D{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2\left( cm \right)\).

Thể tích của khối tứ diện:

\(V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.DH=\frac{1}{3}.\left( A{{B}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{4} \right).2=\frac{1}{3}.\left( {{4}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2} \right).2=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ }\left( cm \right)\).  

Bài 2: Cho lưới đa giác của mô hình một khối chóp tứ giác đều có các mặt bên là các tam giác đều như ở hình 3.14.2.a.

a. Với các kích thước cho trên hình, hãy tính thể tích của mô hình khối chóp tứ giác này.

b. Người ta cắt lưới đa giác này từ một miếng bìa hình vuông (phần đứt nét trong hình 3.14.2.a). Tính diện tích miếng bìa.

Hướng dẫn giải

a. Dựng mô hình của khối chóp tứ giác đều S.ABCD từ lưới đã cho với O là hình chiếu của S lên đáy.

Theo lưới, ta có được tất cả các cạnh của khối chóp này đều bằng 2cm.

Tương tự bài 3.58, ta tính được thể tích khối chóp:

\(\begin{array}{l} V = \frac{1}{3}.{S_{ABC{\rm{D}}}}.SO\\ = \frac{1}{3}{.2^2}.\sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{1}{3}{.2^2}.\sqrt {{2^2} - {{\sqrt 2 }^2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\left( {c{m^3}} \right) \end{array}\)

b.   

Độ dài cạnh miếng bìa hình vuông cũng là độ dài đoạn thẳng AB.

\(AB=AM+MN+NB=2.\frac{\sqrt{3}}{2}+2+2.\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}+2\left( cm \right)\) 

Bài 3: Cho lưới của một hình nón có các kích thước như hình vẽ, tính thể tích mô hình của hình nón này.

Hướng dẫn giải

Độ dài cung tròn có góc ở tâm \({{90}^{o}}\), bán kính 5cm: \(C=\frac{90}{360}.2\pi .5=\frac{5}{2}\pi \text{ }\left( cm \right)\).

Vì độ dài cung tròn vừa tìm cũng chính là chu vi đáy hình nón, gọi r (cm) là bán kính đáy, ta có: \(2\pi \text{r}=\frac{5}{2}\pi \Rightarrow r=\frac{5}{4}\text{ }\left( cm \right)\). 

Dựng mô hình của hình nón với đường sinh l = 5cm; bán kính đáy \(r=\frac{5}{4}cm\), chiều cao là h. Ta có: \(h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}}}=\frac{5\sqrt{15}}{4}\left( cm \right).\)

Thể tích khối nón: \(V=\frac{1}{3}.\pi {{\text{r}}^{2}}.h=\frac{1}{3}.\pi .{{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}}.\frac{5\sqrt{15}}{4}=\frac{125\sqrt{15}}{192}\pi \text{ }\left( c{{m}^{3}} \right)\).

Bài 4: Cho một miếng bìa hình chữ nhật có kích thước 5cm x 3cm. Cuộn miếng bìa lại theo chiều rộng rồi dùng băng dính để nối 2 mép miếng bìa, ta được mô hình của một hình trụ. Tính thể tích hình trụ này?

Hướng dẫn giải

Chu vi đáy và chiều cao của khối trụ lần lượt là chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật. Gọi r (cm) là bán kính của đáy khối trụ, ta có: \(2\pi \text{r}=3\Rightarrow r=\frac{3}{2\pi }\left( cm \right)\).

Thể tích khối trụ: \(V=B.h=\left( 2\pi \text{r} \right).h=\left( 2\pi .\frac{3}{2\pi } \right).5=15\text{ }\left( c{{m}^{3}} \right)\). 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp tìm hình chiếu của các khối đa diện. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Một số bài toán về mô hình các khối đa diện

• Phương pháp phân chia và lắp ráp khối đa diện

Chúc các em học tập tốt!