Một số bài toán ứng dụng về chuyển động

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( a;b \right)\) và điểm \({{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\) nếu tồn tại giới hạn \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\) hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại \({{x}_{0}}.\)

Ký hiệu \(y'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\) hoặc \(f'\left( {{x}_{0}} \right)\)

Lưu ý: Nếu hàm số có đạo hàm trong khoảng \(\left( a;b \right)\) thì liên tục trên khoảng đó nhưng ngược lại thì chưa chắc đúng.

Chú ý: \(u=u\left( x \right),v=v\left( x \right)\)

\(\begin{align} & \bullet \left( u\pm v \right)'=u'\pm v' \\ & \bullet \left( u.v \right)'=u'.v+u.v'\text{ }v\grave{a}\text{ }\left( ku \right)'=ku' \\ & \bullet {{\left( \frac{u}{v} \right)}^{'}}=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}\text{ }v\grave{a}\text{ }{{\left( \frac{k}{v} \right)}^{'}}=-\frac{k.v'}{{{v}^{2}}};\left( v\ne 0 \right) \\ \end{align}\)

BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP

Hàm số cơ bản	Hàm số hợp
\(\left( C \right)'=0\) (C là hằng số)
\(\left( x \right)'=1\)
\({{\left( {{x}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}\)	\({{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{{u}^{\alpha -1}}.{u}'\)
\({{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\) với \(x\ne 0\)	\({{\left( \frac{1}{u} \right)}^{\prime }}=-\frac{{{u}'}}{{{u}^{2}}}\) với \(u\ne 0\)
\({{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) với x>0	\({{\left( \sqrt{u} \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{2\sqrt{u}}\) với u>0
\({{\left( \sin x \right)}^{\prime }}=\cos x\)	\({{\left( \sin u \right)}^{\prime }}={u}'.\cos u\)
\({{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x\)	\({{\left( \cos u \right)}^{\prime }}=-{u}'.\sin u\)
\({{\left( \tan x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\) với \(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \)	\({{\left( \operatorname{tanu} \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{{{\cos }^{2}}u}\) với \(u\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \)
\({{\left( \cot x \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\) với \(x\ne k\pi \)	\({{\left( \cot u \right)}^{\prime }}=-\frac{u}{{{\sin }^{2}}u}\) với \(u\ne k\pi \)
\({{\left( \ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}\) với x>0	\({{\left( \ln u \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{u}\) với u>0
\({{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x\ln a}\) với x>0	\({{\left( {{\log }_{a}}u \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{u\ln a}\) với u>0
\({{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}\)	\({{\left( {{e}^{u}} \right)}^{\prime }}={u}'.{{e}^{u}}\)
\({{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}.\ln a\)	\({{\left( {{a}^{u}} \right)}^{\prime }}=u'.{{a}^{u}}.\ln a\).

Bài 1:

Một vật chuyển động có phương trình là \(S\left( t \right)=40\sin \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right),\left( t\left( s \right) \right),\) quãng đường tính theo đơn vị mét.

a. Tính vận tốc của vặt chuyển động tại thời điểm t=4(s)

b. Tính gia tốc của vật chuyển động tại thời điểm t=6(s).

Giải

a) Ta có: \(v\left( t \right)=S'\left( t \right)=40{{\left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)}^{\prime }}.cos\left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)=40\pi cos\left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)\)

Vậy: \(v\left( 4 \right)=S'\left( 4 \right)=40\pi cos\left( 4\pi +\frac{\pi }{3} \right)=40\pi \frac{1}{2}=20\pi \left( m/s \right)\)

b) Ta có:

\(a\left( t \right)=v'\left( t \right)=-40\pi {{\left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)}^{\prime }}\sin \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)=-40{{\pi }^{2}}\sin \left( \pi t+\frac{\pi }{3} \right)\)

Vậy: \(a\left( 6 \right)=v'\left( 6 \right)=-40{{\pi }^{2}}\sin \left( 6\pi +\frac{\pi }{3} \right)=-40{{\pi }^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=-20\sqrt{3}{{\pi }^{2}}\left( m/{{s}^{2}} \right)\)

Bài 2:

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(S\left( t \right)=50{{t}^{2}},\left( t\left( s \right) \right),\) độ cao tính theo đơn vị là mét.

a. Tính vận tốc của vật rơi tự do tại thời điểm t=6(s).

b. Sau thời gian bao lâu thì vật rơi tự do đạt vận tốc \(50\left( m/s \right)\).

Giải.

a. Ta có \(v\left( t \right)=S'\left( t \right)=10t\).

Vậy vận tốc thời điểm \(t=6\left( s \right)\) là: \(v\left( 6 \right)=S'\left( 6 \right)=10.6=60\left( m/s \right)\)

b. Vậy để vận tốc của vật rơi do đạt \(50\left( m/s \right)\) thì: \(50=10t\Leftrightarrow t=5\left( s \right)\)

Bài 3:

Một vật chuyển động có vận tốc được biểu thị bởi công thức là \(v\left( t \right)=5{{t}^{2}}+7t,\left( t(s) \right),\) trong đó v(t) tính theo đơn vị là (m/s)

a. Tính gia tốc của vật tại thời điểm t=2(s).

b. Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc chuyển động của vật bằng 12 m/s.

Giải:

a) Ta có: \(a\left( t \right)=v'\left( t \right)=10t+7.\) Vậy gia tốc của vật tại thời điểm \(t=2\left( s \right)\)

\(a\left( 2 \right)=v'\left( 2 \right)=10.2+2=27\left( m/{{s}^{2}} \right)\)

b) Vật tại thời điểm vận tốc chuyển động của vật bằng 12 m/s:

\(v\left( t \right)=12\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}+7t=12\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(t/m) \\ & t=-2,4(loai) \\ \end{align} \right.\)

Với \(t=1\left( s \right):a\left( 1 \right)=v'\left( 1 \right)=10+7=17\left( m/{{s}^{2}} \right)\) 

Bài 4:

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S\left( t \right)=1+3{{t}^{2}}-{{t}^{3}},t(s)\). Vận tốc \(v\left( m/s \right)\) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi t bằng bao nhiêu.

A. t=4

B. t=3

C. t=2

D. t=1

Giải:

Ta có: \(v\left( t \right)=S'\left( t \right)=6t-3{{t}^{2}}\)

\(v'\left( t \right)=6-6t.\)

\(v'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 6-6t=0\Leftrightarrow t=1\)

BBT

Vậy vận tốc của chuyển động đạt GTLN khi t=1.

Chọn D.

Bài 5:

Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức \(h\left( t \right)=24t+5{{t}^{2}}-\frac{{{t}^{3}}}{3}\). Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy đinh trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

A. 15h

B. 16h

C. 17h

D. 18h

Giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l} h'\left( t \right) = 24 + 10t - {t^2}\\ h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 24 + 10t - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 2(loai)\\ t = 12{\rm{ }}(t/m) \end{array} \right. \end{array}\)

BBT

Vậy để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ.

Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày.

Chọn A.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Một số bài toán ứng dụng về chuyển động. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Một số bài toán ứng dụng về kinh doanh, sản xuất trong cuộc sống

Chúc các em học tập tốt!